Scomposizione in fattori primi

Un numero non primo si dice composto: ad esempio 15 è un numero composto.

Ogni numero composto può essere scritto come un prodotto di numeri primi attraverso un’operazione detta fattorizzazione o scomposizione in fattori primi.

Ad esempio il numero composto 15 può essere scritto anche come prodotto di 3 x 5.

Come possiamo ottenere la fattorizzazione di un qualunque numero, ad esempio 1400?

-         Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.

-         Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile il numero di partenza; nel nostro caso 1400 è divisibile per 2; scriviamo perciò 2 a destra di 1400

-         Scriviamo il quoziente 700 sotto a 1400 e procediamo: 700 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 350

-         350 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 175

-         175 non è divisibile per 2, non è divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35

-         35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7

-         7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1

La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 1400 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 2³ x 5² x 7

Vediamo un altro esempio, scomponendo in fattori primi 525

-        Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.

-        Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile il numero di partenza; nel nostro caso 525 è divisibile per 3; scriviamo perciò 3 a destra di 525

-         Scriviamo il quoziente 175 sotto a 525 e procediamo: 175 non è più divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35

-         35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7

-         7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1

La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 525 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 2³ x 5² x 7

Altri esempi di scomposizione:

 

Possiamo usare la fattorizzazione per scoprire il cosiddetto criterio generale di divisibilità.

Per sapere se due numeri qualsiasi, ad esempio 24570 e 455, sono divisibili, dobbiamo scomporre entrambi in fattori primi.

Abbiamo ottenuto che

24570 = 2 x 3³ x 5 x 7 x 13

455 = 5 x 7 x 13

Possiamo dire che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione del dividendo troviamo tutti i fattori primi del divisore, con esponente maggiore o uguale (criterio generale di divisibilità).  
Nel nostro caso i due numeri sono divisibili, perché tra i fattori primi del dividendo ci sono tutti i fattori primi del divisore (5, 7 e 13) con ugual esponente.

Se i due numeri sono divisibili possiamo trovare il quoziente senza eseguire la divisione. Il quoziente sarà dato  dal prodotto di tutti i fattori del dividendo, mettendo come esponente la differenza tra gli esponenti del dividendo e del divisore.

Pertanto il quoziente sarà

Applichiamo lo stesso procedimento per controllare se  4356 e 198 sono divisibili.

I due numeri sono divisibili perché tra i fattori del dividendo ci sono tutti i fattori del divisore 2, 3, 11 con esponente maggiore o uguale. Il quoziente sarà

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Scomponi in fattori primi: 245 – 840 – 584 - 6130

·        Applica il criterio generale di divisibilità e, se la divisione è esatta, calcolane il quoziente

756 e 63

7007 e 539

41503 e 539

3245 e 65

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Divisibilità e numeri primi

24 : 4 = 6 resto 0

25 : 3 = 8 resto 1

25 non è divisibile per 3

24 è divisibile per 4 e quindi 4 è un divisore di 24.

Generalizzando, possiamo dire che un numero x è divisibile per un numero y se x : y dà un numero esatto senza resto. Se così è possiamo anche dire che:

x è divisibile per y, quindi x è un multiplo di y

y è un divisore di x, quindi y è un sottomultiplo di x.

I multipli di un numero sono infiniti, mentre i sottomultipli sono in numero finito.

Esistono dei criteri per stabilire in alcuni casi se un numero è divisibile per un altro.

Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari: 0, 2, 4, 6, 8

3 268 è divisibile per 2
5 471 non è divisibile per 2.

Un numero è divisile per 3 se sommando tutte le sue cifre otteniamo un multiplo di 3

7 218 è divisibile per 3 perché 7 + 2 + 1 + 8 = 18 e 18 è un multiplo di 3

8 725 non è divisibile per 3 perché 8 + 7 + 2 + 5 = 22 e 22 non è un multiplo di 3

93 è divisibile per 3 perché 9 + 3 = 12 e 12 è un multiplo di 3.

Un numero è divisile per 4 se le ultime due cifre sono due “zeri” o sono multipli di 4

600 è divisibile per 4

4 328 è divisibile per 4

21 708 è divisibile per 4

32 861 non è divisibile per 4

Un numero è divisile per 5 se l’ultima cifra è 0 o 5

565 è divisibile per 5

3 450 è divisibile per 5

6 587 non è divisibile per 5

Per stabilire se un numero è divisibile per 11 dobbiamo sommare le cifre di posto dispari e quelle di posto pari: la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari deve essere 0, 11 o un multiplo di 11

12 455 non è divisibile per 11 perché

1 + 4 + 5 = 10            2 + 5 = 7         10 – 7 = 3

638 è divisibile per 11 perché

6 + 8 = 14                   14 – 3 = 11

46 695 è divisibile per 11 perché

4 + 6 + 5 = 15             6 + 9 = 15       15 – 15 = 0

359 294 804  è divisibile per 11 perché

3 + 9 + 9 + 8 + 4 = 33                        5 + 2 + 4 + 0 = 11      33 – 11 = 22

Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. Un numero primo ha quindi solo 2 divisori: 1 e se stesso.

Il numero 1 non è considerato numero primo.

Entro il 10 i numeri primi sono 2, 3, 5, 7.

Il matematico e geografo Eratostene ideò quello che ancora oggi è forse il metodo più efficace per estrarre liste di numeri primi tra due numeri dati: il famoso crivello di Eratostene. Se, ad esempio, vogliamo trovare i numeri primi compresi tra 1 e 100, scriviamo tutti i numeri dal 2 al 100.

Eliminiamo tutti i numeri multipli di 2 che non possono essere primi (lasciamo però il 2)

Eliminiamo tutti i multipli di 3 (lasciamo però il 3)

Eliminiamo tutti i multipli di 5 (lasciamo però il 5)

Eliminiamo tutti i multipli di 7  (lasciamo però il 7)

Eliminiamo tutti i multipli di 11  (lasciamo però l’11): ci accorgiamo che non ci sono multipli di 11. I numeri rimasti nella tabella sono i numeri primi compresi tra 1 e 100.

Esistono comunque liste già preparate di numeri primi (ricorda che anche i numeri primi sono infiniti): ecco un link per consultare una tabella dei numeri primi fino a 10 000.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Quando possiamo dire che un numero a è divisibile per un numero b?

·        Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b?

·        Quando un numero si dice primo?

·        Al posto dei puntini inserisci “è divisibile per” oppure “è divisore di”

54 ……………………………………………. 9

4 ……………………………………………. 32

13 ……………………………………………. 26

3 ……………………………………………. 18

6 ……………………………………………. 24

8 ……………………………………………. 4

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 2?

8178    7393    6954    1778    7417    3130    9909    5976    7718    5045

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 3? E quali sono divisibili contemporaneamente per 2 e per 3?

7431    818      2586    9021    8208    4171    8501    8515    3838    9113

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 4?

3636    7072    533      8009    718      6630    6738    6008    1100    4612

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 5? E quali sono divisibili contemporaneamente per 4 e per 5?

8500    2728    1935    1640    6382    6576    9815    6335    8803    9445

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 11?

5577    4577    5500    3550    444      9119

·        In questa serie di numeri quali sono i numeri primi?

21        76        3          57        65        92        100      7          89        13

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Operazioni con monomi: le addizioni algebriche

Vediamo le operazioni che si possono eseguire con i monomi, cominciando dall'addizione algebrica e vedendo quali casi sono possibili:

• Se i monomi sono opposti la loro somma algebrica è zero.

• Se i monomi non sono simili non si eseguono i calcoli ma si lascia indicata la somma algebrica

+3 ab³ – 5a²b + ab                  si lascia indicata la somma algebrica senza eseguire calcoli

• Se i monomi sono tutti simili la loro somma algebrica è un monomio simile a quelli dati con coefficiente corrispondente alla somma algebrica dei coefficienti

   

• Se i monomi sono simili a gruppi si calcola la somma algebrica di ogni gruppo

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

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I monomi

Osserviamo queste espressioni letterali:

Notiamo che sono formate da un numero e da alcune lettere.

Notiamo anche che in queste espressioni letterali non c’è alcuna addizione algebrica, lettere e numeri sono legati solo da moltiplicazioni o divisioni.

Si tratta quindi di monomi, intendendo per monomio un’espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni.

+ 5ab²c è un monomio

3abc + 4ab non è un monomio

In ogni monomio quindi abbiamo una parte numerica che si dice “coefficiente del monomio” ed una “parte letterale”

Da notare che se manca il coefficiente, deve intendersi sottinteso il coefficiente + 1 o -1

+ abc sottintende il coefficiente + 1

a²bc sottintende il coefficiente + 1

- abc² sottintende il coefficiente – 1

Due monomi sono uguali quando hanno uguale sia il coefficiente che la parte letterale.

Due monomi sono simili se hanno un diverso coefficiente ma uguale parte letterale.

Due monomi sono opposti se sono simili ed hanno quindi la stessa parte letterale, ma coefficiente opposto.

Un monomio può essere intero o frazionario. E’ intero se non sono presenti lettere al denominatore, quindi come divisori. E’ frazionario se invece sono presenti lettere come divisori al denominatore.

Il grado del monomio rispetto ad una lettera corrisponde all’esponente con cui quella lettera è presente nel monomio.

Il grado del monomio rispetto alla lettera a è 2

Il grado del monomio rispetto alla lettera b è 1

Il grado del monomio rispetto alla lettera c è 3

Il grado complessivo del monomio o grado del monomio corrisponde alla somma degli esponenti delle lettere presenti nel monomio.

Il grado del monomio è 2 + 1 + 3 = 6

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·     Che cos’é un monomio?

·     Definisci i monomi uguali, simili ed opposti e fai un esempio per ciascun tipo

·     Cerchia i monomi

·     In ognuno dei seguenti monomi indica il coefficiente e la parte letterale

·     Per ogni monomio indica il grado rispetto a ciascuna lettera

·     Per ogni monomio dell’esercizio precedente indica il grado complessivo

 ·     Scrivi un monomio uguale al seguente

·     Scrivi due monomi simili ad ognuno dei seguenti monomi

 ·     Scrivi il monomio opposto a ciascuno dei seguenti monomi

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Il calcolo letterale

L’utilizzo delle lettere al posto di numeri in matematica nasce dall’esigenza di non limitarsi all’osservazione del caso particolare che utilizza numeri precisi, ma di generalizzare proprietà che valgano sempre.

Ad esempio:

a + b + c è la somma algebrica dei numeri relativi a, b e c

y ^. k ^. z  è il prodotto dei numeri relativi y, k e z e può essere indicato anche senza l’uso del puntino: ykz.

a : c oppure a/c indica il quoziente tra i numeri relativi a e c.

b^c indica la potenza di base b ed esponente c.

Possiamo dire che un’espressione letterale consiste in una sequenza di operazioni in cui i numeri sono rappresentati totalmente o parzialmente da lettere.

Vediamo alcuni esempi di espressioni letterali:

2b + 4c è la somma algebrica di 2 volte il numero b e 4 volte il numero c

è la somma algebrica fra i ¾ del prodotto del numero a per il numero b e tre volte il quadrato del numero c

  è la somma algebrica fra i 6/5 del numero a ed il quoziente del doppio di b con c

Calcolare il valore di un’espressione letterale, per valori numerici corrispondenti alle lettere, significa sostituire ogni lettera con il suo valore numerico e calcolare successivamente il valore dell’espressione numerica che si ottiene.

Vediamo un esempio:

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali

 4a - 3b + c                  per       a = ¾              b = ½              c = 2

         

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La notazione esponenziale

Consideriamo le potenze di 10

10⁰ = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1 000

10⁴ = 10 000

10⁵ = 100 000

10⁶ = 1 000 000

10⁷ = 10 000 000

10⁸ = 100 000 000

10⁹ = 1 000 000 000

10¹⁰ = 10 000 000 000

Possiamo vedere che i risultati corrispondono al numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le unità indicate dall'esponente.

Ora, come già sappiamo, le potenze ci consentono di scrivere numeri molto grandi in maniera più semplice attraverso la notazione esponenziale.

Vediamo come fare.

Consideriamo il numero 4 567 703

Proviamo a scomporlo utilizzando la scrittura polinomiale:

4 x 1 000 000 + 5 x 100 000 + 6 x 10 000 + 7 x 1 000 + 7 x 100 + 3 x 1

Considerato quanto abbiamo detto all'inizio, dalla scrittura polinomiale passiamo alla notazione esponenziale

4 x 10⁶ + 5 x 10⁵ + 6 x 10⁴ + 7 x 10³ + 7 x 10² + 3 x 10⁰

Vediamo un altro esempio.

54 000 540

Scrittura polinomiale: 5 x 10 000 000 + 4 x 1 000 000 + 5 x 100 + 4 x 10

Notazione esponenziale: 5 x 10⁷ + 4 x 10⁶ + 5 x 10² + 4 x 10¹

Proviamo ora a scrivere subito la notazione esponenziale di questi numeri che terminano tutti con uno o più zeri.

80 000 000 000 = 8 x 10¹⁰

25 000 000 000 000 = 2 x 10¹³ + 5 x 10¹² oppure possiamo indicare anche così: 25 x 10¹² (dopo le cifre 25 ci sono 12 zeri)

32 400 000 = 3 x 10⁷ + 2 x 10⁶ + 4 x 10⁵ oppure 324 x 10⁵

1 200 = 1 x 10³ + 2 x 10² oppure 12 x 10²

Le potenze ci permettono di scrivere anche numeri molto piccoli in modo semplificato attraverso la notazione esponenziale.

Vediamo questi esempi:

10¹ : 10² = 10 : 100 = 0,1

10¹ : 10² = 10^1-2 = 10^-1

Quindi 0,1 = 10^-1

10¹ : 10³ = 10 : 1 000 = 0,01

10¹ : 10³ = 10^1-3 = 10^-2

Quindi 0,01 = 10^-2

10¹ : 10⁴ = 10 : 10 000 = 0,001

10¹ : 10⁴ = 10^1-4 = 10^-3

Quindi 0,001 = 10^-3

Proseguendo

0,0001 = 10^-4

0,00001 = 10^-5

0,000001 = 10^-6

Notiamo che il numero di cifre decimali corrisponde all'esponente negativo

Siamo quindi ora in grado di scrivere con la notazione esponenziale anche i numeri decimali.

Es.:

6,2894

Scrittura polinomiale

6 x 1 + 2 x 0,1 + 8 x 0,01 + 9 x 0,001 + 4 x 0,0001

Notazione esponenziale

6 x 10⁰ + 2 x 10^-1 + 8 x 10^-2 + 9 x 10^-3 + 4 x 10^-4

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Indica se le seguenti potenze sono esatte e correggi quelle errate

10³ = 1 000

10⁸ = 10 000 000

10⁵ = 10 000

10⁷ = 10 000 000

10^-3 = 0,0001

10^-2 = 0,01

10^-5 = 0,00001

2.      Indica se le seguenti uguaglianze sono corrette e procedi alla correzione di quelle sbagliate

6 804 = 6 x 10³ + 8 x 10² + 4 x 10⁰

30 482 = 3 x 10⁴ + 4 x 10³ + 8 x 10² + 2 x 10¹

870 000 = 8 x 10⁵ + 7 x 10⁴

400 380 = 4 x 10⁴ + 3 x 10³ + 8 x 10²

42 x 10⁸ = 42 000 000

8 x 10⁵ = 80 000

32 000 000 = 32 x 10⁶

54 000 000 000 = 54 x 10⁷

3.      Scrivi usando la notazione esponenziale i seguenti numeri

843 000 =

250 000 000 =

6 100 000 000 000 =

0,0008 =

0,0000000006 =

4.      Scomponi usando la notazione esponenziale

6,236 =

818,2 =

3 804,27 =

83,007 =

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