Caratteristiche dei triangoli e criteri di congruenza

Consideriamo alcune caratteristiche del triangolo isoscele:

·      Gli angoli alla base sono congruenti

·      L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi alla base coincidono in un unico segmento

·      Ortocentro (O), circocentro (C), baricentro (B) ed incentro (I) sono punti che si trovano su questo unico segmento.

 Vediamo ora le caratteristiche del triangolo equilatero:

·      Ha i tre lati congruenti e gli angoli stessa ampiezza (60°): è quindi un poligono regolare

·      L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi ad un qualunque lato coincidono in un unico segmento

·      Ortocentro (O), circocentro (C), baricentro (B) ed incentro (I) coincidono in un unico punto , detto centro del triangolo equilatero.

Passiamo alle caratteristiche del triangolo rettangolo.

·      Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° ed un angolo è retto, gli altri due angoli sono complementari, la loro somma è cioè 90°

·      Se un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 45° anche l’altro angolo acuto quindi sarà di 45°: il triangolo rettangolo sarà anche isoscele con i due cateti congruenti.

·      Se un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30°, l’altro angolo acuto sarà di 60°: possiamo considerare questo triangolo come la metà di in triangolo equilatero che ha i lati della stessa lunghezza dell’ipotenusa. Nel triangolo equilatero l’altezza BA è anche mediana e bisettrice, quindi A è il punto medio di DC: ne deriva che il cateto AC opposto all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa BC.

Sappiamo che due triangoli sono congruenti se, sovrapponendoli, coincidono perfettamente.

Esistono però dei criteri per riconoscere la congruenza tra triangoli senza la necessità di procedere a sovrapposizioni.

Il I criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.

Il II criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato ed i due angoli ad esso adiacenti.

Il III criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i tre lati.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo rettangolo

I due angoli acuti sono …………………………..

Se un angolo acuto è ampio 45°, l’altro angolo acuto misurerà …….. ° e quindi il triangolo è anche ………………………

Se un angolo acuto è ampio 30°, l’altro angolo acuto misurerà ………. ° ed il cateto opposto all'angolo di 30° ………………………………………………………………………………

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo isoscele

I lati obliqui sono …………………….

Gli angoli alla base sono …………………………..

L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi alla base …………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Ortocentro, circocentro, baricentro ed incentro sono punti che si trovano ……………………

…………………………………………………………………………………………………

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo equilatero

I tre lati sono ………………………….

I tre angoli sono …………………………. e misurano ciascuno ……….. °

E’ un poligono regolare perché ……………………………………………………………

L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi ad un qualunque lato ……………………

…………………………………………………………………………………………………

Ortocentro, circocentro, baricentro ed incentro coincidono ………………………………, detto ………… del triangolo equilatero.

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:

triangolo ABC: AB = 8 cm – BC = 10 cm - angolo in B = 52°

triangolo FGH: FG = 8 cm – GH = 10 cm - angolo in G = 52°

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli rettangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:

triangolo ABC: cateto AB = 12 cm – cateto BC = 15 cm

triangolo DEF: cateto DE = 12  cm – cateto EF = 15 cm

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:

triangolo ABC: AB = 16 cm – BC = 21 cm - AC = 29 cm

triangolo CDE: CD = 16 cm – DE = 21 cm - CE = 29 cm

·    Di un triangolo ottusangolo ABC con BH altezza relativa al lato AC, conosciamo questi dati:

BC = 20 cm

AB = 6,2 cm

AH = HC – 15

P = 50,2 cm

b =  125 °

g = 10°

a)      Trova l’ampiezza dell’angolo a

b)      Trova l’ampiezza degli angoli interni del triangolo HBA e del triangolo BCH

c)      Che tipo di triangolo è HBA?

d)      Calcola il perimetro del triangolo HBA e del triangolo BCH

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Bisettrici, mediane ed assi del triangolo

Consideriamo un qualunque triangolo e tracciamo un segmento AD che partendo dal vertice A raggiunga il lato opposto dividendo a metà l’angolo in A

Il segmento AD si chiama bisettrice dell’angolo A.

Possiamo quindi dire che si chiama bisettrice di un triangolo relativa ad un vertice quel segmento che unisce il vertice con il lato opposto dividendo a metà l’angolo.

Poiché un triangolo ha 3 vertici e tre angoli , le bisettrici di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo le tre bisettrici si incontrano in un unico punto detto incentro.

L’incentro è sempre interno al triangolo ed ha sempre la stessa distanza da ciascuno dei lati.

Consideriamo un qualunque triangolo e tracciamo un segmento AE che partendo dal vertice A raggiunga il punto medio del lato opposto.

Il segmento AE si chiama mediana relativa al lato BC.

Possiamo dunque affermare che si chiama mediana di un triangolo relativa ad un lato quel segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto.

Poiché un triangolo ha 3 lati , le mediane di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto detto baricentro.

Il baricentro è sempre interno al triangolo.

Un’altra proprietà del baricentro è data dal fatto che esso divide ogni mediana in due parti di cui una è il doppio dell’altra. Nel triangolo sotto il baricentro O fa sì che:

AO = 2 OD

CO = 2 OF

BO = 2 OE

Consideriamo un qualunque triangolo ed il suo lato AB, mettiamo D punto medio del lato AB e  tracciamo una retta a perpendicolare ad AB e passante per il punto medio D.

La retta a si chiama asse relativa al lato AB.

Possiamo dunque affermare che si chiama asse di un triangolo relativo ad un lato quella retta perpendicolare al lato stesso e che passa per il suo punto medio.

Poiché un triangolo ha 3 lati , gli assi di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo i tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro.

Come vediamo nella figura sopra, in un triangolo acutangolo, il circocentro è sempre interno.

Nei triangoli ottusangoli il circocentro è esterno al triangolo.

Nei triangoli rettangoli il circocentro coincide sempre con il punto medio dell’ipotenusa.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Che cos’é la bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro delle tre bisettrici?

·        Che cos’é la mediana relativa ad un lato di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro delle tre mediane?

·        Che cos’é l’asse relativo ad un lato di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro dei tre assi?

·        Quali tra questi punti sono sempre interni ad un qualunque triangolo

­       incentro

­       baricentro

­       ortocentro

­       circocentro

·        Determina l’incentro di questo triangolo

·        Determina il baricentro di questo triangolo

·        Determina il circocentro di questo triangolo

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I triangoli e le altezze

Il triangolo è un poligono con 3 lati e 3 angoli.

Se ricordiamo le proprietà dei poligoni viste nel post precedente, ricorderemo che se 3 è il numero dei lati, la somma degli angoli interni sarà di (3 – 2) angoli piatti, quindi la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è pari ad un angolo piatto, cioè è 180°.

Sappiamo inoltre che la misura di ciascun lato dovrà essere minore della somma degli altri due lati.

Classifichiamo i triangoli rispetto alla lunghezza dei lati in:

triangolo equilatero: 3 lati congruenti

triangolo isoscele: 2 lati congruenti

triangolo scaleno: 3 lati disuguali

Chiaramente un triangolo equilatero è anche isoscele.

Classifichiamo i triangoli rispetto all'ampiezza degli angoli in:

triangolo acutangolo: tre angoli acuti

triangolo rettangolo: un angolo è retto

triangolo ottusangolo: un angolo è ottuso

Considerando che l’altezza relativa ad un lato è il segmento perpendicolare al lato stesso e che ha origine dal vertice opposto, poiché il triangolo ha 3 lati, avrà anche tre altezze.

In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.

Nel caso dei triangoli acutangoli, l’ortocentro sarà sempre interno al triangolo.

Nel caso del triangolo rettangolo, l’altezza relativa al lato BC coincide con il lato AB (detto anche cateto),  l’altezza relativa al lato AB coincide con il lato BC (altro cateto), l’altezza relativa al lato AC (detto ipotenusa) incontra le altre due altezze nel punto B. Possiamo quindi dire che nei triangoli rettangoli l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.

Nel caso del triangolo ottusangolo, solo l’altezza relativa al lato AB è interna al triangolo, l’altezza relativa al lato CB incontra il prolungamento del lato nel punto D, l’altezza relativa al lato AC incontra il prolungamento del lato nel punto F. Il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze è esterno al triangolo, perciò possiamo affermare che nei triangoli ottusangoli, l’ortocentro sarà sempre esterno al triangolo.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Che cos’è un triangolo?

·        Quanto misura la somma degli angoli esterni di un triangolo?

·        Quanto misura la somma degli angoli interni di un triangolo?

·        Scegli tra queste terne che esprimono le lunghezze dei lati quelle con cui è possibile costruire un triangolo

a) 10, 14, 17                     b) 24, 29, 8                             c) 6, 9, 20

d) 19, 41, 22                     e) 20, 34, 26                            f) 13, 10, 26

g) 15, 17, 31                     h) 20, 28, 51                            i) 15, 3, 18

·        Scegli tra queste terne che esprimono l’ampiezza in gradi degli angoli quelle che possono rappresentare l’ampiezza degli angoli interni di un triangolo

a) 96, 51, 27                     b) 79, 73, 35                           c) 58, 76, 46

d) 111, 31, 38                   e) 99, 30, 31                           f) 59, 66, 70

·        Un triangolo con due angoli ampi 37° e 35°, che tipo di triangolo è?

·        Un triangolo con due angoli ampi 38° e 52°, che tipo di triangolo è?

·        Un triangolo con due angoli ampi 80°, 70°, che tipo di triangolo è?

·        Quali sono i nomi dei lati di un triangolo rettangolo? Disegna un triangolo rettangolo ed indicali

·        Quante sono le altezze di un triangolo?

·        Come si chiama il punto d’incontro delle altezze?

·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre esterno?

·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre interno?

·        Rappresenta l’ortocentro in ognuno di questi triangoli

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I poligoni

Poligono è detta quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata.

I segmenti che formano la linea spezzata si dicono lati del poligono, gli estremi dei segmenti vertici, gli angoli formati da due segmenti consecutivi sono gli angoli interni del poligono.

Il segmento che collega due vertici non consecutivi si chiama diagonale del poligono.

La linea spezzata è il contorno del poligono e la misura del contorno è il perimetro.

Un poligono con tutti i lati congruenti si dice equilatero.

Un poligono con tutti gli angoli di uguale ampiezza si dice equiangolo.

Un poligono equilatero ed equiangolo si dice regolare.

In base al numero dei lati i poligoni prendono nomi diversi:

3 lati	triangolo
4 lati	quadrilatero
5 lati	pentagono
6 lati	esagono
7 lati	ettagono
8 lati	ottagono
9 lati	ennagono
10 lati	decagono

Se un poligono non contiene nessun prolungamento dei suoi lati è detto convesso; se contiene il prolungamento di uno o più lati si dice concavo.

Vediamo ora alcune proprietà dei poligoni.

Se un poligono ha n lati (n sta per un qualunque numero), avrà anche n vertici, n angoli interni, n angoli esterni. Per ogni vertice ci saranno (n – 3) diagonali, quindi un triangolo non avrà diagonali (3 – 3 = 0), un quadrato ne avrà (4 – 3 = 1) per ogni vertice, un esagono avrà (6 – 3) diagonali per ogni vertice.

Immaginiamo ora di percorrere il contorno del seguente poligono partendo dal vertice A.

Tutti gli angoli che incontriamo percorrendo in senso orario il poligono una sola volta, formati da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo si dicono angoli esterni del poligono.

La somma degli angoli esterni di un qualunque poligono, indipendentemente dal numero dei lati,  corrisponde sempre ad un angolo giro, quindi misura 360°.

a + b + d + e + g = 360°

L’angolo esterno e quello interno con il vertice in comune sono adiacenti e quindi supplementari.

d + l = 180 °

La somma degli angoli interni di un poligono di n lati corrisponde sempre a (n – 2) angoli piatti.

Quindi la somma degli angoli interni di un poligono di 5 lati sarà = (5 – 2) x 180° = 3 x 180° = 540°

Un’ultima annotazione: in un poligono ogni lato è sempre minore della somma dei restanti lati.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZIO

1. Che cos’è un poligono?
2. Disegna un poligono convesso
3. Disegna un poligono concavo
4. In un qualunque poligono quanto misura la somma degli angoli esterni?
5. Quando un poligono si dice regolare?
6. In un poligono di 8 lati, quante sono le diagonali per ogni vertice?
7. Per ogni gruppo indicante la lunghezza di segmenti, scrivi se è possibile costruire un poligono
1. 10, 11, 14, 6
2. 14, 29, 8, 4, 3
3. 16, 15, 6, 10
4. 17, 36, 12
8. Considera i dati di questo poligono e poi rispondi:

AB = 8,1 cm

BC = 2,8 cm

DA = 7,9 cm

CD = BC

a = 36°

b = 52°

d = 44°

Quanti sono i lati del poligono? Qual è il nome del poligono?

Si tratta di un poligono convesso o concavo?

Calcola il suo perimetro

Calcola l’ampiezza dell’angolo w

9. Consideriamo un quadrilatero, di cui conosciamo i seguenti dati:

1. L’angolo maggiore misura 108°
2. L’angolo minore misura 24° 13’ 04’’
3. Gli altri due angoli sono congruenti

Calcola l’ampiezza degli angoli congruenti.

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