sabato 4 febbraio 2012

Divisibilità e numeri primi

24 : 4 = 6 resto 0
25 : 3 = 8 resto 1
25 non è divisibile per 3
24 è divisibile per 4 e quindi 4 è un divisore di 24.
Generalizzando, possiamo dire che un numero x è divisibile per un numero y se x : y dà un numero esatto senza resto. Se così è possiamo anche dire che:
x è divisibile per y, quindi x è un multiplo di y
y è un divisore di x, quindi y è un sottomultiplo di x.
I multipli di un numero sono infiniti, mentre i sottomultipli sono in numero finito.

Esistono dei criteri per stabilire in alcuni casi se un numero è divisibile per un altro.

Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari: 0, 2, 4, 6, 8
3 268 è divisibile per 2, 5 471 non è divisibile per 2.

Un numero è divisile per 3 se sommando tutte le sue cifre otteniamo un multiplo di 3
7 218 è divisibile per 3 perché 7 + 2 + 1 + 8 = 18 e 18 è un multiplo di 3
8 725 non è divisibile per 3 perché 8 + 7 + 2 + 5 = 22 e 22 non è un multiplo di 3
93 è divisibile per 3 perché 9 + 3 = 12 e 12 è un multiplo di 3.

Un numero è divisile per 4 se le ultime due cifre sono due “zeri” o sono multipli di 4
600 è divisibile per 4
4 328 è divisibile per 4
21 708 è divisibile per 4
32 861 non è divisibile per 4

Un numero è divisile per 5 se l’ultima cifra è 0 o 5
565 è divisibile per 5
3 450 è divisibile per 5
6 587 non è divisibile per 5

Per stabilire se un numero è divisibile per 11 dobbiamo sommare le cifre di posto dispari e quelle di posto pari: la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari deve essere 0, 11 o un multiplo di 11
12 455 non è divisibile per 11 perché
1 + 4 + 5 = 10 2 + 5 = 7         10 – 7 = 3
638 è divisibile per 11 perché
6 + 8 = 14                   14 – 3 = 11
46 695 è divisibile per 11 perché
4 + 6 + 5 = 15             6 + 9 = 15       15 – 15 = 0
359 294 804  è divisibile per 11 perché
3 + 9 + 9 + 8 + 4 = 33                        5 + 2 + 4 + 0 = 11      33 – 11 = 22

Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso. Un numero primo ha quindi solo 2 divisori: 1 e se stesso.
Il numero 1 non è considerato numero primo.
Entro il 10 i numeri primi sono 2, 3, 5, 7.
Il matematico e geografo Eratostene ideò quello che ancora oggi è forse il metodo più efficace per estrarre liste di numeri primi tra due numeri dati: il famoso crivello di Eratostene. Se, ad esempio, vogliamo trovare i numeri compresi tra 1 e 100, scriviamo tutti i numeri dal 2 al 100.

Eliminiamo tutti i numeri multipli di 2 che non possono essere primi (lasciamo però il 2)

Eliminiamo tutti i multipli di 3 (lasciamo però il 3)

Eliminiamo tutti i multipli di 5 (lasciamo però il 5)

Eliminiamo tutti i multipli di 7  (lasciamo però il 7)

Eliminiamo tutti i multipli di 11  (lasciamo però l’11): ci accorgiamo che non ci sono multipli di 11. I numeri rimasti nella tabella sono i numeri primi compresi tra 1 e 100.
Esistono comunque liste già preparate di numeri primi (ricorda che anche i numeri primi sono infiniti): ecco un link per consultare una tabella dei numeri primi fino a 10 000

ESERCIZI
·        Quando possiamo dire che un numero a è divisibile per un numero b?
·        Quando possiamo dire che un numero a è sottomultiplo del numero b?
·        Quando un numero si dice primo?
·        Al posto dei puntini inserisci “è divisibile per” oppure “è divisore di”
54 ……………………………………………. 9
4 ……………………………………………. 32
13 ……………………………………………. 26
3 ……………………………………………. 18
6 ……………………………………………. 24
8 ……………………………………………. 4
·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 2?
8178    7393    6954    1778    7417    3130    9909    5976    7718    5045

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 3? E quali sono divisibili contemporaneamente per 2 e per 3?
7431    818      2586    9021    8208    4171    8501    8515    3838    9113

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 4?
3636    7072    533      8009    718      6630    6738    6008    1100    4612

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 5? E quali sono divisibili contemporaneamente per 4 e per 5?
8500    2728    1935    1640    6382    6576    9815    6335    8803    9445

·        Quali tra questi numeri sono divisibili per 11?
5577    4577    5500    3550    444      9119

·        In questa serie di numeri quali sono i numeri primi?
21        76        3          57        65        92        100      7          89        13


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca