Matematica scuola secondaria 1° grado: ottobre 2013

I prodotti notevoli

Divisione

Consideriamo il caso della divisione di un polinomio per un monomio.

Vediamo un esempio:

(-6x³y + 9x²y² – 3xy²) : (-3xy)

Possiamo applicare la proprietà distributiva:

- 6x³y : (-3xy) + 9x²y² : (-3xy) - 3xy² : (-3xy) =

= + 2x² – 3xy + y

Possiamo quindi dire che, se vogliamo dividere un polinomio per un monomio, possiamo dividere ciascun termine del polinomio per il monomio e poi addizionare i quozienti ottenuti.

Vediamo ancora un esempio.

Potenza di polinomi

Se dobbiamo calcolare la potenza di questo polinomio, possiamo operare così

(-2xy + 3x – 2y)² =

= (-2xy + 3x – 2y) (-2xy + 3x – 2y) =

= + 4x²y² – 6x²y + 4xy² – 6x²y + 9x² - 6xy + 4xy² – 6xy +4y²=

= + 4x²y² - 12 x²y + 8xy²+ 9x²– 12xy +4y²

Prodotti notevoli

Vi sono alcune moltiplicazioni e potenze particolari, i cui risultati sono chiamati prodotti notevoli, che possiamo eseguire più facilmente applicando alcune regole, che ora andremo a scoprire.

Prodotto della somma per la differenza di due monomi

Sia dato (x + y) (x – y)

Eseguiamo

(x + y) (x – y) = x² – xy + xy - y² = x²- y²

Vediamo un altro caso. Sia dato (3a + 2b) (3a – 2b)

Eseguiamo

(3a + 2b) (3a – 2b) = 9a² – 6ab + 6ab – 4b² = 9a² – 4b²

In entrambi i casi vediamo che il prodotto è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi

Quadrato della somma di due monomi

Vediamo un esempio.

(ab + 2a)²

Eseguiamo

(ab + 2a) (ab + 2a) = a²b² + 2a²b + 2a²b + 4a² = a²b² + 4a²b + 4a²

Vediamo un altro esempio

In entrambi i casi osserviamo che il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo monomio.

Cubo della somma o della differenza di due monomi

Consideriamo questo caso

(a + 2b)³

Eseguiamo

(a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)

Ci accorgiamo che l’operazione sottolineata rientra nel caso visto in precedenza (il quadrato della somma di due monomi) quindi:

(a² + 4ab + 4b²) (a + 2b) =

= a³ + 2a²b + 4a²b + 8ab² + 4ab² + 8b³=

= a³ + 6a²b + 12ab² +8b³

Possiamo notare che il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo monomio (a³) più il cubo del secondo monomio (b³) più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo (3 ^. a² ^. 2b) più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo ( 3 ^. a ^. 4b²)

Vediamo un altro caso usando le proprietà dei prodotti notevoli.

Vediamo un esempio con la differenza

(a – b)³ = a³ + 3 ^. a² ^. (- b) + 3 ^. a ^. (-b)² + (-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

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Il teorema di Pitagora

Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, con il cateto AB lungo 4 cm, il cateto AC 3 cm e l’ipotenusa BC lunga 5 cm.

Prendiamo come unità di misura u = 1 cm

Abbiamo costruito un quadrato su ogni lato del triangolo rettangolo. Possiamo constatare che:

1) L’area del quadrato costruito sul cateto maggiore misura 16 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 16 cm² = 4²

2) L’area del quadrato costruito sul cateto minore misura 9 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 9 cm² = 3²

3) L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa misura 25 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 25 cm² = 5²

Ci accorgiamo che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa corrisponde alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

25 cm²= 16 cm² + 9 cm²

Questa caratteristica è valida per tutti i triangoli rettangoli?

Nel VI secolo a. C. il matematico e filosofo greco Pitagora enunciò il suo teorema (si tratta di una proposizione dimostrabile logicamente partendo da un’ipotesi per giungere alla tesi) generalizzando questa proprietà a tutti i triangoli rettangoli. Il teorema di Pitagora ci dice infatti che in ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Qual è l’utilità di questo teorema? E’ quella di poter conoscere la misura di ogni lato di un triangolo rettangolo, essendo note le misure degli altri due lati.

Dal teorema di Pitagora possiamo ricavare la seguente formula, indicando con C il cateto maggiore, con c il cateto minore e con i l’ipotenusa:

C²+ c² = i²

Da questa formula possiamo derivare le altre due

i² – c² = C²

i² – C² = c²

E’ evidente che utilizzando queste tre formule possiamo ricavare la misura di ciascun lato di qualunque triangolo rettangolo, conoscendo al misura degli altri due.

Immaginiamo di avere questo triangolo

Poiché nelle formule indicate sopra si ricava la misura dei lati elevati al quadrato, sarà sufficiente eseguire l’operazione opposta all’elevamento a potenza, cioè l’estrazione di radice quadrata.

Le tre formule quindi diventano:

Se vogliamo trovare l’ipotenusa, conoscendo i due cateti, dobbiamo sommare il quadrato delle misure dei due cateti ed estrarre la radice quadrata della somma ottenuta. Nel triangolo considerato sopra avremo quindi

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Se vogliamo trovare la misura di uno dei due cateti, conoscendo la misura dell’ipotenusa e dell’altro cateto, dobbiamo calcolare la differenza tra il quadrato della misura dell’ipotenusa ed il quadrato del cateto noto ed estrarre la radice quadrata della differenza ottenuta. Nel triangolo considerato sopra avremo quindi

ESERCIZI

· Abbiamo un triangolo rettangolo di cui sappiamo che uno dei cateti è i 3/4 dell’altro e che la loro somma è 77 cm. Qual è il perimetro e l’area del triangolo?

· Sommando la lunghezza dell’ipotenusa e di un cateto di un triangolo rettangolo otteniamo la misura di 392 m; sapendo che la loro differenza è di 338 m, calcola il perimetro e l’area del triangolo.

· Di un triangolo rettangolo conosciamo che l’ipotenusa misura 26 cm mentre la lunghezza di un cateto è di 15,6 cm. L’altezza relativa all’ipotenusa divide la stessa in due segmenti, di cui vogliamo conoscere le misure.

· Un triangolo rettangolo ha un cateto di 14 cm e l’area di 73,5 cm². L’altezza relativa all’ipotenusa divide il triangolo di partenza in due triangoli. Calcola l’area di ciascuno dei due triangoli.

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Espressioni con i numeri decimali

Per eseguire operazioni (e quindi anche espressioni) con i numeri decimali, possiamo scegliere di eseguire i calcoli con i numeri decimali seguendo le regole che già conosciamo. Ad esempio

(1,04 + 5,08 – 5)² : 1,12

1,12² : 1,12 = 1,12

oppure possiamo trasformare i numeri decimali nella loro frazione generatrice ed effettuare i calcoli con le frazioni. Questa seconda possibilità è quella che dobbiamo necessariamente seguire se i calcoli comprendono numeri decimali illimitati periodici.

Esempio: