Consideriamo gli insiemi numerici che conosciamo finora.
Abbiamo esaminato l’insieme N o insieme dei numeri naturali
{0, 1, 2, 3, 4,......}
Abbiamo visto come l’addizione
e la moltiplicazione siano operazioni interne all’insieme N mentre la
sottrazione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali perché
non è sempre possibile restando nell’ambito dei numeri naturali.
Per dare una risposta a qualsiasi
sottrazione, i matematici hanno inventato i numeri relativi (con il segno), e cioè l’insieme Z.
{...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,......}
L’addizione, la sottrazione e la
moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme Z perché il risultato è
sempre un numero intero relativo. La divisione, invece, non è un’operazione
interna all’insieme Z perché in alcuni casi non è possibile: ad esempio (+3) :
(+5) = ?
Per poter eseguire qualsiasi divisione, i
matematici hanno inventato le frazioni: l’insieme Q+ o insieme dei numeri razionali.
-3/4
+6/5 +5/2
L’insieme Q+ include sia
l’insieme N che l’insieme Z.
L’addizione, la sottrazione, la
moltiplicazione e la divisione sono operazioni interne all’insieme Q+
perché il risultato è sempre un numero razionale relativo.
L’estrazione di radice non è sempre
un’operazione interna all’insieme Q+: se il numero di cui dobbiamo
estrarre la radice quadrato è un quadrato perfetto allora l’estrazione di
radice è interna a Q+.
Se invece il numero di cui vogliamo
estrarre la radice quadrata non è un quadrato perfetto, sappiamo che otterremo
una radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 – 0,01 – 0,001, ecc.
Ad esempio la radice quadrata di 10 approssimata per difetto a meno di 0,00001
è 3,16227….. ma potremmo proseguire all’infinito ottenendo un numero decimale
illimitato con cifre decimali che non si ripeteranno mai: si tratta quindi di
un numero decimale illimitato non periodico. I numeri di questo tipo sono
chiamati numeri irrazionali.
Per dare quindi una risposta a qualsiasi
radice con radicando positivo, i matematici hanno inventato i numeri
irrazionali: l’insieme I+ o insieme dei numeri irrazionali.
L’unione dell’insieme Q+ dei
numeri razionali e dell’insieme I+ dei numeri irrazionali forma
l’insieme R+
o insieme dei numeri reali assoluti.
L’estrazione di radice quadrata è un’operazione
interna all’insieme R+.
Possiamo rappresentare graficamente in
questo modo
oppure anche così
ESERCIZI
·
La
sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?
·
La
sottrazione è un’operazione interna all’insieme Z?
·
Quali
sono le operazioni interne all’insieme Z?
·
L’estrazione
di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme Q+?
·
In quale
insieme l’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna?
·
Qual è
l’insieme formato dall’unione dei numeri razionali e dall’insieme dei numeri
irrazionali?
·
Inserisci
i seguenti numeri al posto corretto nel diagramma di Eulero-Venn
·
Quali tra
i seguenti numeri reali assoluti sono razionali e quali irrazionali? Cerchia di
blu i razionali e di rosso gli irrazionali.
