I corpi solidi la cui
superficie è formata solo da poligoni situati in piani diversi si dicono
poliedri (insieme A della figura).
I corpi solidi la cui
superficie è curva invece si dicono solidi rotondi o a superficie curva (insieme
B della figura).
Cominciamo ad esaminare i poliedri.
I poligoni che delimitano il poliedro si dicono facce del poliedro, i lati dei poligoni
si dicono spigoli del poliedro, i
vertici dei poligoni sono i vertici
del poliedro.
Si dice invece diagonale
del poliedro ogni segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa
faccia.
Da questa immagine tratta dal sito http://freeforumzone.leonardo.it
possiamo vedere come, in ogni poliedro, il numero delle facce più il numero dei
vertici sia sempre uguale al numero degli spigoli più 2. Chiamiamo f il numero di facce, v il numero di vertici, s il numero di spigoli.
f + v
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s + 2
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Tetraedro
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4 + 4 = 8
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6 + 2 = 8
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Cubo
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6 + 8 = 14
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12 + 2 = 14
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Ottaedro
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8 + 6 = 14
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12 + 2 = 14
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Questa relazione è detta relazione di Eulero e possiamo sintetizzarla così: in qualsiasi
poliedro è sempre vero che f + v = s + 2
Noi considereremo ora solo i poliedri convessi, cioè i poligoni le cui facce appartengono a piani che non intersecano il poliedro.
I poliedri convessi possono essere regolari o non regolari.
POLIEDRI REGOLARI
Un poliedro si dice
regolare se le sue facce sono poligoni regolari congruenti tra loro.
Ci sono solo 5 tipi di poliedro regolare, detti anche poliedri platonici.
In questa immagine vediamo quali sono:
f
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Tetraedro
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4 triangoli
equilateri
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Cubo (o esaedro regolare)
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6 quadrati
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Ottaedro
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8 triangoli
equilateri
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Dodecaedro
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12 pentagoni
regolari
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Icosaedro
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20 triangoli
equilateri
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Lo sviluppo di un poliedro è la rappresentazione su un piano
della superficie totale del poliedro stesso: in pratica si tratta della
rappresentazione in piano di tutte le facce del poliedro. Nell’immagine sopra
vediamo lo sviluppo in piano dei poliedri regolari (ultima colonna della
tabella).
POLIEDRI NON REGOLARI
Nell’insieme dei poliedri non regolari troviamo il
sottoinsieme dei prismi ed il sottoinsieme delle piramidi.
Sottoinsieme dei
prismi
Sono quei poliedri che hanno almeno due facce parallele e congruenti.
Le facce parallele e congruenti sono le basi del prisma, le altre facce si dicono facce laterali e la distanza fra le due basi è l’altezza del prisma.
Consideriamo ora questi due prismi. Vediamo come nel prisma
a sinistra gli spigoli delle facce laterali siano tutti perpendicolari alla
basi mentre nel prisma a destra sono obliqui.
I prismi come quello a sinistra vengono chiamati prismi retti e le loro facce laterali
sono rettangoli, i prismi come quello a destra vengono chiamati prismi obliqui e le loro facce sono dei
parallelogrammi.
Se un prisma ha le basi costituite da parallelogrammi, si
tratta di un prisma particolare, detto parallelepipedo.
Se un parallelepipedo ha le facce laterali perpendicolari
alle basi abbiamo un parallelepipedo
retto. Le facce laterali sono tutte rettangolari e a due a due parallele e
congruenti.
Se un parallelepipedo retto la base è un rettangolo abbiamo
il parallelepipedo rettangolo. Le
facce sono tutte e sei rettangolari e a due a due parallele e congruenti.
Un particolare parallelepipedo rettangolo è il cubo, in cui tutte e sei le facce sono
congruenti.
Rappresentiamo il sottoinsieme dei prismi con il diagramma
di Eulero-Venn.
Sottoinsieme delle
piramidi
Sono quei poliedri che non hanno facce parallele, una base
sola che può essere un qualsiasi poligono e la superficie laterale formata da
facce triangolari con un vertice in comune.
Il poligono su cui poggia è la base della piramide, le altre facce si dicono facce laterali, il vertice comune alle facce laterali è il vertice della piramide e la distanza
fra il vertice e la base è l’altezza
della piramide.
Riassumiamo quindi l’insieme dei poliedri in un diagramma di
Eulero-Venn.
ESERCIZI
·
Che cos’è
un poliedro?
·
Quando un
poliedro è regolare?
·
Quando un
poliedro viene chiamato prisma?
·
Che cos’è
un parallelepipedo?
·
Per
ognuno dei seguenti solidi verifica la relazione di Eulero
·
Stabilisci
quali poliedri sono regolari e quali non regolari
·
Stabilisci
fra i seguenti poliedri quali sono prismi e quali piramidi
