Sappiamo già che ogni equazione del tipo y = mx + p (con m e p che indicano
qualsiasi numero relativo) ha come equazione una retta. Sappiamo anche che il
termine noto (p in questo caso) rappresenta l’ordinata del punto in cui
la retta incontra l’asse y.
Ne deduciamo che se p
= 0 la retta incontra l’asse y
nel punto 0 del piano cartesiano, è
dunque una retta che passa per l’origine degli assi.
Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di
equazione y = + 4x (colore rosso)
Completiamo la tabella dei valori
x
|
0
|
+1
|
y
|
0
|
+4
|
Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di
equazione y = - 3x (colore blu)
Completiamo la tabella dei valori
x
|
0
|
+1
|
y
|
0
|
-3
|
Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di
equazione y = - 1/2 x (colore verde)
Completiamo la tabella dei valori
x
|
0
|
+1
|
y
|
0
|
- 1/2
|
Vediamo che si tratta di rette tutte passanti per l’origine
degli assi. Possiamo quindi dire che l’equazione
di una retta passante per l’origine degli assi è un’equazione del tipo y = mx
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Individuiamo ora sul piano cartesiano i punti A(- 2;
+ 3), B(+ 1; +3) C(+ 3; +3)
Sappiamo già che questi punti, avendo la stessa ordinata (+3), appartengono tutti ad una stessa
retta r parallela all’asse x, distante 3 u dall’asse x.
Individuiamo adesso sul piano cartesiano i punti D(- 2; -
2), E(+ 3; - 2) F(+ 4; - 2)
Anche questi punti, avendo la stessa ordinata (- 2), appartengono tutti ad una stessa
retta s parallela all’asse x.
Possiamo vedere che la retta r è formata da tutti i punti con ordinata uguale a + 3, quindi l’equazione della retta r parallela all’asse x è y
= +3.
Possiamo anche vedere
che la retta s è formata da tutti i
punti con ordinata uguale a - 2,
quindi l’equazione della retta s
parallela all’asse x è y = - 2.
Possiamo quindi concludere affermando che l’equazione
di una retta parallela all’asse x è un’equazione del tipo y = m (con m che
indica qualsiasi numero relativo)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Individuiamo sul piano cartesiano i punti A(+ 4;
+ 3), B(+ 4; + 1) C(+ 4; - 3)
Sappiamo già che questi punti, avendo la stessa ascissa (+4), appartengono tutti ad una stessa
retta r parallela all’asse y, distante 4 u dall’asse y.
Individuiamo sul piano cartesiano i punti D(- 3; +
3), E(- 3; - 2) F(- 3; - 4)
Anche questi punti, avendo la stessa ascissa (- 3), appartengono tutti ad una stessa
retta s parallela all’asse y.
Possiamo vedere che la retta r è formata da tutti i punti con ascissa uguale a + 4, quindi l’equazione della retta r parallela all’asse y è x
= + 4.
Possiamo anche vedere
che la retta s è formata da tutti i
punti con ascissa uguale a - 3,
quindi l’equazione della retta s
parallela all’asse y è x = - 3.
Possiamo quindi concludere affermando che l’equazione
di una retta parallela all’asse y è un’equazione del tipo x = m (con m che
indica qualsiasi numero relativo).
Rette parallele
Rappresentiamo in un piano cartesiano le due rette r e s.
La retta r ha
l’equazione y = 3x – 2 per cui avremo
x
|
0
|
+ 1
|
y
|
- 2
|
+ 1
|
La retta s ha
l’equazione y = 3x + 2 per cui avremo
x
|
0
|
+ 1
|
y
|
+ 2
|
+ 5
|
Le due rette sono parallele; se osserviamo le due equazioni
ci accorgiamo che è uguale il coefficiente angolare (+3) e, di conseguenza, le due rette devono avere la medesima
inclinazione rispetto all’asse x e
quindi essere parallele.
Possiamo dunque affermare che due rette di equazione y = mx + p
ed y = m’x + p’ (con m e p
che indicano qualsiasi numero relativo) sono parallele solo se m = m’, cioè se hanno lo stesso
coefficiente angolare.
Rette perpendicolari
Rappresentiamo in un piano cartesiano le due rette r e s.
La retta r ha
l’equazione y = - 4x per cui avremo
x
|
0
|
+ 1
|
y
|
0
|
- 4
|
La retta s ha
l’equazione y = + 1/4x per cui avremo
x
|
0
|
+ 1
|
y
|
0
|
+ 1/4
|
Le due rette sono perpendicolari; se osserviamo le due equazioni
ci accorgiamo che i coefficienti angolari sono opposti ed inversi.
Rappresentiamo ora in un piano cartesiano le due rette a e b.
La retta a ha
l’equazione y = + 2x - 1 per cui avremo
x
|
0
|
+ 1
|
y
|
-1
|
+1
|
La retta b ha
l’equazione y = - 1/2x + 2 per cui
avremo
x
|
0
|
+ 1
|
y
|
+2
|
+3/2
|
Anche in questo caso le due rette sono perpendicolari; se
osserviamo le due equazioni ci accorgiamo che anche stavolta i coefficienti
angolari sono opposti ed inversi.
Possiamo dunque affermare che due rette di equazione y = mx + p
ed y = m’x + p’ (con m e p
che indicano qualsiasi numero relativo) sono perpendicolari solo se i
coefficienti angolari sono uno l’opposto e l’inverso dell’altro.
EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI
In un piano cartesiano rappresentiamo i punti A (+2; + 3) e
B (+5; + 2) e la retta r che li
unisce.
L’equazione della retta r è data dall’equazione
in cui possiamo vedere che il numeratore della prima
frazione è costituito dalla differenza fra y
e l’ordinata del punto A, il denominatore
dalla differenza tra l’ordinata del punto B e quella del punto A; nella
seconda frazione il numeratore è dato dalla differenza tra x e l’ascissa del punto A, il denominatore dalla differenza tra
l’ascissa del punto B e quella del punto A. Generalizzando possiamo affermare
che l’equazione di una retta passante per due punti A(x1; y1) e B(x2; y2) è
data dalla seguente formula:
Vediamo un altro esempio:
Scrivere l’equazione della retta r passante per i punti A(2; 1) e B(-1; 2)
ESERCIZI
·
Per ogni
retta di cui è data l’equazione, indica se è parallela all’asse x o all’asse y.
y = - 4 x =
5 y = 1/3 x = - 2
·
Indica
quali, fra le seguenti rette, sono tra loro parallele
y = - ¼ x + 5 y = ¼ x + 5 y = - ¼ x – 2/3 y
= 4x – 1/5
·
Indica
quali, fra le seguenti rette, sono tra loro perpendicolari
y = 4x – 1/3 y = - 4x – 3 y = - 1/4x + 3 y = 1/4x + 1/3
·
Scrivi
l’equazione della retta passante per i punti A(1; 2) e B (2 ; 3) e
rappresentala nel piano cartesiano
·
Scrivi
l’equazione della retta passante per i punti A( 2; 2) e B ( 3 ; 3) e
rappresentala nel piano cartesiano
·
Scrivi
l’equazione della retta passante per i punti A( - 1; 0) e B ( 1 ; - 1) e
rappresentala nel piano cartesiano. In quale punto incontra l’asse x? E l’asse y?
