Risolvere le espressioni aritmetiche

Ricordando che un’espressione aritmetica è un insieme di numeri legati da segni di operazione e con l’eventuale presenza di parentesi, ricordiamo le principali regole da rispettare nella loro esecuzione.

Espressione che non contiene parentesi

Se l’espressione è costituita solo da addizioni e/o sottrazioni si eseguono le operazioni nell’ordine in cui sono indicate.

310 + 45 – 26 – 24 + 57

355 – 26 – 24 + 57

329 – 24 + 57

305 + 57 = 362

Se l’espressione è costituita solo da moltiplicazioni e/o divisioni si eseguono le operazioni nell’ordine in cui sono indicate.

4 x 7 : 2 x 3 : 6 x 4

28 : 2 x 3 : 6 x 4

14 x 3 : 6 x 4

42 : 6 x 4

7 x 4 = 28

Se l’espressione è costituita da addizioni e/o sottrazioni con moltiplicazioni e/o divisioni si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui sono indicate e poi le addizioni e le sottrazioni sempre nell’ordine in cui sono indicate.

11 + 3 x 5 – 21 : 3 + 8 – 5 x 4 : 2

11 + 15 – 7 + 8 – 20 : 2

11 + 15 – 7 + 8 – 10

26 – 7 + 8 – 10

19 + 8 – 10

27 – 10 = 17

Per stabilire l’ordine con cui eseguire i calcoli possono essere presenti tre tipi di parentesi: tonde ( ), quadre [ ], graffe {}.

Quali regole seguire se ci sono le parentesi in un‘espressione?

Espressione con parentesi

1.      Si eseguono per prime le operazioni nelle parentesi tonde, seguendo le regole già indicate ed eliminando le parentesi dopo aver eseguito tutte le operazioni al loro interno.

2.      Allo stesso modo si risolvono le operazioni dentro le parentesi quadre, se presenti.

3.      Si risolvono le operazioni dentro le parentesi graffe, se presenti.

4.      Eliminate tutte le parentesi si eseguono le operazioni restanti rispettando le precedenze già viste.

Esempio

95 : { 13 + 4 x [3 x 18 – 8 x (28 : 4 – 3) : 2] – 70 } + 1

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde

95 : { 13 + 4 x [3 x 18 – 8 x (7 – 3) : 2] – 70 } + 1

Ora eseguiamo le operazioni dentro le parentesi quadre

95 : { 13 + 4 x [3 x 18 – 8 x 4 : 2] – 70 } + 1

95 : { 13 + 4 x [54 – 32 : 2] – 70 } + 1

95 : { 13 + 4 x [54 – 16] – 70 } + 1

Ora procediamo fino ad eliminare le parentesi graffe

95 : { 13 + 4 x 38 – 70 } + 1

95 : { 13 + 152 – 70 } + 1

95 : {165 - 70} + 1

Eseguiamo le operazioni rimaste

95 : 95 + 1

1 + 1 = 2

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1. Senza parentesi

6 + 4 x 7 – 8 + 36 : 9 – 11

2. Con numeri decimali

5,6 : 1,4 + 3,5 : 0,7 – 1,3 x 4

3. Con parentesi tonde

70 – (14,6 – 0,6) + (2,7 + 36,3 – 12,5) – 42,5 + 3

4. Anche con parentesi quadre

[(25 x 2 – 7 x 5) : 3 + (44 – 4 x 10) : 2] x 2 – 32 : 4

5. Con tutte le parentesi

{(8 + 3) x 3 x 6 : 18 + [17 – 5 + 24 : 2 – (6 x 5 – 120 : 4) : 6] x 3 + 2

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Le moltiplicazioni con i numeri relativi

Il prodotto di due numeri relativi è un terzo numero che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e come segno il segno positivo se i numeri sono concordi o il segno negativo se i numeri sono discordi.

(+ 4) ^. (+ 3) = + 12

(+ 5) ^. (- 6) = - 30

(- 7) ^. (+ 3) = - 21

(- 2) ^. (- 4) = + 8

Semplifichiamo in questa tabella.

Se occorre moltiplicare più numeri, si può procedere calcolando prima il valore assoluto moltiplicando tutti i valori assoluti e poi il segno applicando la regola studiata ai vari fattori in sequenza.

Si può anche procedere moltiplicando in sequenza le varie coppie di numeri, applicando la regola studiata.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        (- 6) ^. (- 2) ^. (+ 8)

·        (+ 5) ^. (- 5) ^. (+ 4)

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Le addizioni algebriche

Poiché con i numeri relativi la sottrazione, in pratica, diventa un’addizione, ecco che possiamo ricondurre una successione di addizioni e sottrazioni fra numeri relativi ad un’unica operazione, chiamata addizione algebrica che ci darà un risultato detto somma algebrica.

L’addizione algebrica può essere resa più semplice sopprimendo le parentesi usate per separare il segno di operazione dal segno del numero e togliendo il segno di operazione.

Nel caso dell’addizione il numero mantiene lo stesso segno.

Es. : (+ 6) + (- 8) diventa 6 – 8 = - 2

Nel caso della sottrazione il secondo numero cambia il segno.

Es. : (+ 6) - (- 8) diventa 6 + 8 = 14

Vediamo un esempio su come si può eseguire un’addizione algebrica.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·         - 15 – (8 – 3 – 11) + ( - 3 – 8) – (+4 – 13) – 9

·        (+ 2 – 5 – 8) + 12 – (+ 4 + 4 – 9) + (- 2 + 10)

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La sottrazione con i numeri relativi

Vediamo le sottrazioni con i numeri relativi.

Se dobbiamo fare (+7) – (-5), occorre trovare un terzo numero che sommato al secondo dia come risultato il primo.

…….. + (-5) = (+7)

Immaginiamo una retta orientata su cui i numeri positivi sono a destra dello 0 e quelli negativi a sinistra. Partendo da (-5) per arrivare a (+7) dobbiamo spostarci di 12 verso destra.

Il numero che cerchiamo è (+12). Quindi

(+7) – (-5) = +12

Avremmo ottenuto lo stesso risultato operando così:

(+7) + (+5) = + 12

Questo esempio ci fa capire la regola fondamentale: per trovare la differenza di due numeri relativi possiamo addizionare al primo l’opposto del secondo.

Trasformiamo così la sottrazione in un’addizione di cui conosciamo già le regole di esecuzione.

Vediamo alcuni esempi per capire meglio:

·        (+7) – (+4)            trasformo in addizione mettendo l’opposto del secondo numero

(+7) + (-4) = +3

·        (+8) – (-11)

(+8) + (+11) = + 19

·        (-4) – (+9)

(-4) + (-9) = - 13

·        (-8) – (-3)

(-8) + (+3) = -5

Nel caso di sottrazioni con numeri razionali la regola fondamentale resta la stessa. Vediamo un esempio.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1) Individua, tra le seguenti, quali sono le sottrazioni errate e poi scrivi il risultato corretto

· (+6) – (+6)

  (+6) + (+6) = +12

· (+11) – (-2)

  (+11) + (+2) = +13

· (-8) – (-3)

  (+8) + (+3) = +11

· (-4) – (-4)

  (-4) + (+4) = 0

2) Esegui

(-3) – (+5)

(+1) – (-1)

(+9) – (+11)

(-20) – (-11)

(-4,6) – (+2,4)



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I triangoli e le altezze

Il triangolo è un poligono con 3 lati e 3 angoli.

Se ricordiamo le proprietà dei poligoni viste nel post precedente, ricorderemo che se 3 è il numero dei lati, la somma degli angoli interni sarà di (3 – 2) angoli piatti, quindi la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è pari ad un angolo piatto, cioè è 180°.

Sappiamo inoltre che la misura di ciascun lato dovrà essere minore della somma degli altri due lati.

Classifichiamo i triangoli rispetto alla lunghezza dei lati in:

triangolo equilatero: 3 lati congruenti

triangolo isoscele: 2 lati congruenti

triangolo scaleno: 3 lati disuguali

Chiaramente un triangolo equilatero è anche isoscele.

Classifichiamo i triangoli rispetto all'ampiezza degli angoli in:

triangolo acutangolo: tre angoli acuti

triangolo rettangolo: un angolo è retto

triangolo ottusangolo: un angolo è ottuso

Considerando che l’altezza relativa ad un lato è il segmento perpendicolare al lato stesso e che ha origine dal vertice opposto, poiché il triangolo ha 3 lati, avrà anche tre altezze.

In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.

Nel caso dei triangoli acutangoli, l’ortocentro sarà sempre interno al triangolo.

Nel caso del triangolo rettangolo, l’altezza relativa al lato BC coincide con il lato AB (detto anche cateto),  l’altezza relativa al lato AB coincide con il lato BC (altro cateto), l’altezza relativa al lato AC (detto ipotenusa) incontra le altre due altezze nel punto B. Possiamo quindi dire che nei triangoli rettangoli l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.

Nel caso del triangolo ottusangolo, solo l’altezza relativa al lato AB è interna al triangolo, l’altezza relativa al lato CB incontra il prolungamento del lato nel punto D, l’altezza relativa al lato AC incontra il prolungamento del lato nel punto F. Il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze è esterno al triangolo, perciò possiamo affermare che nei triangoli ottusangoli, l’ortocentro sarà sempre esterno al triangolo.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Che cos’è un triangolo?

·        Quanto misura la somma degli angoli esterni di un triangolo?

·        Quanto misura la somma degli angoli interni di un triangolo?

·        Scegli tra queste terne che esprimono le lunghezze dei lati quelle con cui è possibile costruire un triangolo

a) 10, 14, 17                     b) 24, 29, 8                             c) 6, 9, 20

d) 19, 41, 22                     e) 20, 34, 26                            f) 13, 10, 26

g) 15, 17, 31                     h) 20, 28, 51                            i) 15, 3, 18

·        Scegli tra queste terne che esprimono l’ampiezza in gradi degli angoli quelle che possono rappresentare l’ampiezza degli angoli interni di un triangolo

a) 96, 51, 27                     b) 79, 73, 35                           c) 58, 76, 46

d) 111, 31, 38                   e) 99, 30, 31                           f) 59, 66, 70

·        Un triangolo con due angoli ampi 37° e 35°, che tipo di triangolo è?

·        Un triangolo con due angoli ampi 38° e 52°, che tipo di triangolo è?

·        Un triangolo con due angoli ampi 80°, 70°, che tipo di triangolo è?

·        Quali sono i nomi dei lati di un triangolo rettangolo? Disegna un triangolo rettangolo ed indicali

·        Quante sono le altezze di un triangolo?

·        Come si chiama il punto d’incontro delle altezze?

·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre esterno?

·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre interno?

·        Rappresenta l’ortocentro in ognuno di questi triangoli

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Le divisioni in N

Dividendo due numeri appartenenti ad N, il quoziente è un numero appartenente ad N solo se il dividendo è multiplo del divisore, negli altri casi non troviamo in N il quoziente. Possiamo dunque dire che la divisione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla divisione.

La divisione gode della proprietà:

·        Invariantiva: in una divisione il quoziente tra due numeri non cambia se dividiamo o moltiplichiamo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero, diverso da zero.

Es.: 252 : 9 = 28

(252 : 3) : (9 : 3) =

84 : 3 = 28

(84 x 5) : (3 x 5) = 420 : 15 = 28

·        Distributiva: dividendo una somma o una differenza per un numero, si può dividere ciascun termine della somma o della differenza per quel numero e poi aggiungere o sottrarre i quozienti così ottenuti.

Es.: (32 + 12) : 4 = 44 : 4 = 11 ma anche

(32 : 4) + (12 : 4) = 8 + 3 = 11

(30 – 20) : 5 = 10 : 5 = 2 ma anche

(30: 5) – (20 : 5) = 6 – 4 = 2

Per eseguire una divisione in colonna con numeri decimali, possiamo distinguere questi due casi:

1. solo il dividendo è decimale ( si esegue la divisione normalmente e si mette la virgola nel quoziente quando si considera la prima cifra decimale del dividendo)

Es.: 415, 52 : 53

2. il divisore è decimale (occorre applicare la proprietà invariantiva della divisione per rendere intero il divisore e poi si procede normalmente)

Es.: 273 : 6,5 (si applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 10 il divisore ed il dividendo e l’operazione diventa 2 730 : 65)

Es.: 43, 725 : 8,25 (si applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 100 il divisore ed il dividendo e l’operazione diventa 4372,5 : 825).

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1. Scrivi se V (vero) o F (falso)
• La divisione è un’operazione interna all’insieme N
• L’insieme N è aperto rispetto alla divisione
• L’insieme N non è chiuso rispetto alla divisione
• Considerati due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che è il loro quoziente
2. Di quali proprietà gode la divisione?
3. Quale proprietà è stata applicata nelle seguenti uguaglianze?

·        36 : 4 = (36 : 2) : (4 : 2)

·        15 : 5 = (15 x 4) : (5 x 4)

·        (24 + 40) : 8 = (24 : 8) + (40 : 8)

·        120 : 6 = (120: 3) : (6: 3)

·        (39 – 18) : 3 = (39: 3) – (18 : 3)

4. Esegui applicando la proprietà invariantiva come nell’esempio

Es.: 72 : 6

(72 : 3) : (6 : 3) = 24 : 2 = 12

(72 x 3) : (6 x 3) = 216 : 18 = 12

27 : 9

48 : 8

42 : 6

5. Esegui applicando la proprietà distributiva

(24 + 10) : 2

(27 – 12) : 3

(49 – 21 + 14) : 7

6. Esegui in colonna e scrivi il risultato

45,44 : 8

96,48 : 24

3 444 : 0,6

15,689 : 2,9

9234 : 1,8

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La moltiplicazione in N

Se moltiplichiamo due numeri appartenenti ad N, il prodotto sarà un altro numero ancora appartenente a N. Diciamo quindi che la moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

La moltiplicazione può essere considerata come un’addizione ripetuta e quindi gode delle stesse proprietà di cui gode l’addizione.

La moltiplicazione gode quindi della proprietà:

·        commutativa: il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.

Es.: 6 x 8 x 5 = 8 x 5 x 6

Possiamo anche dire:

" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)

a x b = b x a

·        associativa: il prodotto di 3 o più fattori non cambia se al posto di 2 o più fattori inseriamo il loro prodotto.

Es.: 4 x 10 x 7 = 40 x 7

Possiamo anche dire:

" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)

a x b x c = a x (b x c) = (a x b) x c

·  

Inoltre la moltiplicazione gode anche della proprietà:

·        distributiva: moltiplicando un numero per una somma o una differenza, possiamo moltiplicare il numero per ciascun termine della somma o della differenza e poi aggiungere o sottrarre i prodotti ottenuti.

Es.:      13 x  18 = 13 x (10 + 8) = (13 x 10) + (13 x 8) = 130 + 104 = 234

14 x 15 =  14 x (20 – 5) = (14 x 20) – (14 x 5) = 280 – 70 = 210

Per eseguire una moltiplicazione in colonna considera inizialmente i fattori come interi anche se hanno cifre decimali. Moltiplica ogni cifra del moltiplicatore per il moltiplicando, ottenendo così dei prodotti parziali che ogni volta scriverai spostandoti a sinistra di una posizione.

Al termine somma i prodotti parziali e separa, a partire da destra, tante cifre decimali quante sono quelle dei due fattori considerati insieme.

Es.: 8, 21 x 5,4

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1) Se consideriamo due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che sia il loro prodotto?

2) L’insieme N è aperto o chiuso rispetto alla moltiplicazione?

3) Enuncia la proprietà commutativa della moltiplicazione ed illustrala con un esempio.

4) Quale enunciato spiega in modo corretto la proprietà associativa della moltiplicazione?a. Il prodotto di tre o più fattori non cambia se si sostituisce un fattore con altri il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito.
b. Il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.
c. Il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo due o più di essi con un fattore uguale al loro prodotto.

5) Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?

6 x 3 x 4 x 8 = 18 x 32

20 x 15 = (20 x 10) + (20 x 5)

5 x 9 x 6 = 5 x 6 x 9

7 x (8 – 2) = (7 x 8) – (7 x 2)


6) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà commutativa:

2 x 16 x 5 =

7) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà associativa come vedi nell’esempio:

4 x 6 x 3 =



8 x 6 x 5 =
8) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà distributiva come vedi nell’esempio:

6 x 18 = 6 x (10 + 8) = (6 x 10) + (6 x 8) = 60 + 48 = 108

8 x 23 =

9) Metti in colonna e scrivi il risultato

172 x 5,2 =

6, 34 x 73 =

112, 3 x 7, 25 =

4068 x 543 =

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