Risolvere le espressioni aritmetiche

Ricordando che un’espressione aritmetica è un insieme di numeri legati da segni di operazione e con l’eventuale presenza di parentesi, ricordiamo le principali regole da rispettare nella loro esecuzione.

Espressione che non contiene parentesi

Se l’espressione è costituita solo da addizioni e/o sottrazioni si eseguono le operazioni nell’ordine in cui sono indicate.

310 + 45 – 26 – 24 + 57

355 – 26 – 24 + 57

329 – 24 + 57

305 + 57 = 362

Se l’espressione è costituita solo da moltiplicazioni e/o divisioni si eseguono le operazioni nell’ordine in cui sono indicate.

4 x 7 : 2 x 3 : 6 x 4

28 : 2 x 3 : 6 x 4

14 x 3 : 6 x 4

42 : 6 x 4

7 x 4 = 28

Se l’espressione è costituita da addizioni e/o sottrazioni con moltiplicazioni e/o divisioni si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui sono indicate e poi le addizioni e le sottrazioni sempre nell’ordine in cui sono indicate.

11 + 3 x 5 – 21 : 3 + 8 – 5 x 4 : 2

11 + 15 – 7 + 8 – 20 : 2

11 + 15 – 7 + 8 – 10

26 – 7 + 8 – 10

19 + 8 – 10

27 – 10 = 17

Per stabilire l’ordine con cui eseguire i calcoli possono essere presenti tre tipi di parentesi: tonde ( ), quadre [ ], graffe {}.

Quali regole seguire se ci sono le parentesi in un‘espressione?

Espressione con parentesi

1.      Si eseguono per prime le operazioni nelle parentesi tonde, seguendo le regole già indicate ed eliminando le parentesi dopo aver eseguito tutte le operazioni al loro interno.

2.      Allo stesso modo si risolvono le operazioni dentro le parentesi quadre, se presenti.

3.      Si risolvono le operazioni dentro le parentesi graffe, se presenti.

4.      Eliminate tutte le parentesi si eseguono le operazioni restanti rispettando le precedenze già viste.

Esempio

95 : { 13 + 4 x [3 x 18 – 8 x (28 : 4 – 3) : 2] – 70 } + 1

Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde

95 : { 13 + 4 x [3 x 18 – 8 x (7 – 3) : 2] – 70 } + 1

Ora eseguiamo le operazioni dentro le parentesi quadre

95 : { 13 + 4 x [3 x 18 – 8 x 4 : 2] – 70 } + 1

95 : { 13 + 4 x [54 – 32 : 2] – 70 } + 1

95 : { 13 + 4 x [54 – 16] – 70 } + 1

Ora procediamo fino ad eliminare le parentesi graffe

95 : { 13 + 4 x 38 – 70 } + 1

95 : { 13 + 152 – 70 } + 1

95 : {165 - 70} + 1

Eseguiamo le operazioni rimaste

95 : 95 + 1

1 + 1 = 2

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1. Senza parentesi

6 + 4 x 7 – 8 + 36 : 9 – 11

2. Con numeri decimali

5,6 : 1,4 + 3,5 : 0,7 – 1,3 x 4

3. Con parentesi tonde

70 – (14,6 – 0,6) + (2,7 + 36,3 – 12,5) – 42,5 + 3

4. Anche con parentesi quadre

[(25 x 2 – 7 x 5) : 3 + (44 – 4 x 10) : 2] x 2 – 32 : 4

5. Con tutte le parentesi

{(8 + 3) x 3 x 6 : 18 + [17 – 5 + 24 : 2 – (6 x 5 – 120 : 4) : 6] x 3 + 2

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Le moltiplicazioni con i numeri relativi

Il prodotto di due numeri relativi è un terzo numero che ha come valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e come segno il segno positivo se i numeri sono concordi o il segno negativo se i numeri sono discordi.

(+ 4) ^. (+ 3) = + 12

(+ 5) ^. (- 6) = - 30

(- 7) ^. (+ 3) = - 21

(- 2) ^. (- 4) = + 8

Semplifichiamo in questa tabella.

Se occorre moltiplicare più numeri, si può procedere calcolando prima il valore assoluto moltiplicando tutti i valori assoluti e poi il segno applicando la regola studiata ai vari fattori in sequenza.

Si può anche procedere moltiplicando in sequenza le varie coppie di numeri, applicando la regola studiata.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        (- 6) ^. (- 2) ^. (+ 8)

·        (+ 5) ^. (- 5) ^. (+ 4)

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Le addizioni algebriche

Poiché con i numeri relativi la sottrazione, in pratica, diventa un’addizione, ecco che possiamo ricondurre una successione di addizioni e sottrazioni fra numeri relativi ad un’unica operazione, chiamata addizione algebrica che ci darà un risultato detto somma algebrica.

L’addizione algebrica può essere resa più semplice sopprimendo le parentesi usate per separare il segno di operazione dal segno del numero e togliendo il segno di operazione.

Nel caso dell’addizione il numero mantiene lo stesso segno.

Es. : (+ 6) + (- 8) diventa 6 – 8 = - 2

Nel caso della sottrazione il secondo numero cambia il segno.

Es. : (+ 6) - (- 8) diventa 6 + 8 = 14

Vediamo un esempio su come si può eseguire un’addizione algebrica.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·         - 15 – (8 – 3 – 11) + ( - 3 – 8) – (+4 – 13) – 9

·        (+ 2 – 5 – 8) + 12 – (+ 4 + 4 – 9) + (- 2 + 10)

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La sottrazione con i numeri relativi

Vediamo le sottrazioni con i numeri relativi.

Se dobbiamo fare (+7) – (-5), occorre trovare un terzo numero che sommato al secondo dia come risultato il primo.

…….. + (-5) = (+7)

Immaginiamo una retta orientata su cui i numeri positivi sono a destra dello 0 e quelli negativi a sinistra. Partendo da (-5) per arrivare a (+7) dobbiamo spostarci di 12 verso destra.

Il numero che cerchiamo è (+12). Quindi

(+7) – (-5) = +12

Avremmo ottenuto lo stesso risultato operando così:

(+7) + (+5) = + 12

Questo esempio ci fa capire la regola fondamentale: per trovare la differenza di due numeri relativi possiamo addizionare al primo l’opposto del secondo.

Trasformiamo così la sottrazione in un’addizione di cui conosciamo già le regole di esecuzione.

Vediamo alcuni esempi per capire meglio:

·        (+7) – (+4)            trasformo in addizione mettendo l’opposto del secondo numero

(+7) + (-4) = +3

·        (+8) – (-11)

(+8) + (+11) = + 19

·        (-4) – (+9)

(-4) + (-9) = - 13

·        (-8) – (-3)

(-8) + (+3) = -5

Nel caso di sottrazioni con numeri razionali la regola fondamentale resta la stessa. Vediamo un esempio.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1) Individua, tra le seguenti, quali sono le sottrazioni errate e poi scrivi il risultato corretto

· (+6) – (+6)

  (+6) + (+6) = +12

· (+11) – (-2)

  (+11) + (+2) = +13

· (-8) – (-3)

  (+8) + (+3) = +11

· (-4) – (-4)

  (-4) + (+4) = 0

2) Esegui

(-3) – (+5)

(+1) – (-1)

(+9) – (+11)

(-20) – (-11)

(-4,6) – (+2,4)



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Le divisioni in N

Dividendo due numeri appartenenti ad N, il quoziente è un numero appartenente ad N solo se il dividendo è multiplo del divisore, negli altri casi non troviamo in N il quoziente. Possiamo dunque dire che la divisione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla divisione.

La divisione gode della proprietà:

·        Invariantiva: in una divisione il quoziente tra due numeri non cambia se dividiamo o moltiplichiamo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero, diverso da zero.

Es.: 252 : 9 = 28

(252 : 3) : (9 : 3) =

84 : 3 = 28

(84 x 5) : (3 x 5) = 420 : 15 = 28

·        Distributiva: dividendo una somma o una differenza per un numero, si può dividere ciascun termine della somma o della differenza per quel numero e poi aggiungere o sottrarre i quozienti così ottenuti.

Es.: (32 + 12) : 4 = 44 : 4 = 11 ma anche

(32 : 4) + (12 : 4) = 8 + 3 = 11

(30 – 20) : 5 = 10 : 5 = 2 ma anche

(30: 5) – (20 : 5) = 6 – 4 = 2

Per eseguire una divisione in colonna con numeri decimali, possiamo distinguere questi due casi:

1. solo il dividendo è decimale ( si esegue la divisione normalmente e si mette la virgola nel quoziente quando si considera la prima cifra decimale del dividendo)

Es.: 415, 52 : 53

2. il divisore è decimale (occorre applicare la proprietà invariantiva della divisione per rendere intero il divisore e poi si procede normalmente)

Es.: 273 : 6,5 (si applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 10 il divisore ed il dividendo e l’operazione diventa 2 730 : 65)

Es.: 43, 725 : 8,25 (si applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 100 il divisore ed il dividendo e l’operazione diventa 4372,5 : 825).

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1. Scrivi se V (vero) o F (falso)
• La divisione è un’operazione interna all’insieme N
• L’insieme N è aperto rispetto alla divisione
• L’insieme N non è chiuso rispetto alla divisione
• Considerati due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che è il loro quoziente
2. Di quali proprietà gode la divisione?
3. Quale proprietà è stata applicata nelle seguenti uguaglianze?

·        36 : 4 = (36 : 2) : (4 : 2)

·        15 : 5 = (15 x 4) : (5 x 4)

·        (24 + 40) : 8 = (24 : 8) + (40 : 8)

·        120 : 6 = (120: 3) : (6: 3)

·        (39 – 18) : 3 = (39: 3) – (18 : 3)

4. Esegui applicando la proprietà invariantiva come nell’esempio

Es.: 72 : 6

(72 : 3) : (6 : 3) = 24 : 2 = 12

(72 x 3) : (6 x 3) = 216 : 18 = 12

27 : 9

48 : 8

42 : 6

5. Esegui applicando la proprietà distributiva

(24 + 10) : 2

(27 – 12) : 3

(49 – 21 + 14) : 7

6. Esegui in colonna e scrivi il risultato

45,44 : 8

96,48 : 24

3 444 : 0,6

15,689 : 2,9

9234 : 1,8

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La moltiplicazione in N

Se moltiplichiamo due numeri appartenenti ad N, il prodotto sarà un altro numero ancora appartenente a N. Diciamo quindi che la moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

La moltiplicazione può essere considerata come un’addizione ripetuta e quindi gode delle stesse proprietà di cui gode l’addizione.

La moltiplicazione gode quindi della proprietà:

·        commutativa: il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.

Es.: 6 x 8 x 5 = 8 x 5 x 6

Possiamo anche dire:

" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)

a x b = b x a

·        associativa: il prodotto di 3 o più fattori non cambia se al posto di 2 o più fattori inseriamo il loro prodotto.

Es.: 4 x 10 x 7 = 40 x 7

Possiamo anche dire:

" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)

a x b x c = a x (b x c) = (a x b) x c

·  

Inoltre la moltiplicazione gode anche della proprietà:

·        distributiva: moltiplicando un numero per una somma o una differenza, possiamo moltiplicare il numero per ciascun termine della somma o della differenza e poi aggiungere o sottrarre i prodotti ottenuti.

Es.:      13 x  18 = 13 x (10 + 8) = (13 x 10) + (13 x 8) = 130 + 104 = 234

14 x 15 =  14 x (20 – 5) = (14 x 20) – (14 x 5) = 280 – 70 = 210

Per eseguire una moltiplicazione in colonna considera inizialmente i fattori come interi anche se hanno cifre decimali. Moltiplica ogni cifra del moltiplicatore per il moltiplicando, ottenendo così dei prodotti parziali che ogni volta scriverai spostandoti a sinistra di una posizione.

Al termine somma i prodotti parziali e separa, a partire da destra, tante cifre decimali quante sono quelle dei due fattori considerati insieme.

Es.: 8, 21 x 5,4

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1) Se consideriamo due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che sia il loro prodotto?

2) L’insieme N è aperto o chiuso rispetto alla moltiplicazione?

3) Enuncia la proprietà commutativa della moltiplicazione ed illustrala con un esempio.

4) Quale enunciato spiega in modo corretto la proprietà associativa della moltiplicazione?a. Il prodotto di tre o più fattori non cambia se si sostituisce un fattore con altri il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito.
b. Il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.
c. Il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo due o più di essi con un fattore uguale al loro prodotto.

5) Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?

6 x 3 x 4 x 8 = 18 x 32

20 x 15 = (20 x 10) + (20 x 5)

5 x 9 x 6 = 5 x 6 x 9

7 x (8 – 2) = (7 x 8) – (7 x 2)


6) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà commutativa:

2 x 16 x 5 =

7) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà associativa come vedi nell’esempio:

4 x 6 x 3 =



8 x 6 x 5 =
8) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà distributiva come vedi nell’esempio:

6 x 18 = 6 x (10 + 8) = (6 x 10) + (6 x 8) = 60 + 48 = 108

8 x 23 =

9) Metti in colonna e scrivi il risultato

172 x 5,2 =

6, 34 x 73 =

112, 3 x 7, 25 =

4068 x 543 =

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Addizione e sottrazione in N

Se sommiamo due numeri appartenenti ad N il totale sarà un altro numero ancora appartenente a N: possiamo quindi dire che l’addizione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione.

L’addizione gode delle seguenti proprietà, che ci aiutano in molti casi a velocizzare e semplificare i calcoli.

Commutativa: la somma di due o più addendi non cambia cambiando l’ordine degli addendi. Possiamo anche dire:

" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)

a + b = b + a

Associativa: la somma di 3 o più addendi non cambia associando a 2 o più addendi la loro somma. Possiamo anche dire:

" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Se eseguiamo una sottrazione tra due numeri appartenenti ad N, vediamo che la differenza è un numero appartenente ad N solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Se il minuendo è minore del sottraendo, la differenza non è in N: possiamo dunque dire che la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla sottrazione.

La sottrazione gode della proprietà

Invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge o si sottrae lo stesso numero sia al minuendo che al sottraendo. Possiamo anche dire:

" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)

a – b = (a + c) – (b + c)

a – b = (a – c) – (b – c)

Per eseguire addizioni e sottrazioni in colonna occorre scrivere nella stessa colonna le unità dello stesso ordine sia intere che decimali, pareggiando le cifre decimali e considerando come decimali anche i numeri interi.

Si inizia a sommare o sottrarre dalla colonna più a destra e nel risultato la virgola sarà sotto alle altre virgole.

Es.: 453 + 22, 13 + 3,7

Es.: 8456 – 318,279

Abbiamo visto che nella sottrazione, se il minuendo è minore del sottraendo, non è possibile eseguire l’operazione in N. E’ quindi necessario allargare l’ambito numerico considerando non solo i numeri interi positivi, ma introducendo anche i numeri interi negativi.

N⁺ + N^-  formano l’insieme dei numeri interi relativi, detto insieme Z.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      L’addizione è un’operazione interna all’insieme N?

2.      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?

3.      Qual è l’insieme indicato dalla lettera Z?

4.      Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?

8 + 7 + 2 = 8 + 2 + 7

38 + 12 + 5 = (38 + 12) + 5

30 + 6 + 9 = 36 + 9

36 – 7 = (36 – 6) – (7 – 6)

5 + 7 + 8 + 2 = 12 + 10

6 + 3 + 4 = 6 + 4 + 3

23 + 16 + 14 = 23 + (16 + 14)

5.      Esegui queste addizioni applicando le proprietà come vedi nell’esempio:

32 + 15 + 18 =  32 + 18 + 15 = (32 + 18) + 15 = 50 + 15 = 65

39 + 16 + 11
43 + 8 + 27 

6.      Esegui queste sottrazioni applicando la proprietà invariantiva come vedi nell’esempio:

38 - 15 =     (38 + 2) – (15 + 2) = 40 – 17 = 23

                   (38 - 5) – (15 - 5) = 33 – 10 = 23

35 - 23

68 – 22

64 - 36 

7.      Metti in colonna e scrivi il risultato

72, 154 + 7,003 + 3, 519

61,84 + 1,5 + 2, 88 + 78,62

3860,47 – 317,31

9376 – 482,313

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Sistema di numerazione: l'insieme N

Il nostro sistema di numerazione è posizionale perché il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero.

Il nostro sistema di numerazione è decimale perché si raggruppa per dieci, in questo modo:

·        Le cifre da 0 a 9 sono chiamate unità del 1° ordine

·        10 unità del 1° ordine formano una decina (unità del 2° ordine)

·        10 unità del 2° ordine formano un centinaio (unità del 3° ordine)

·        10 unità del 3° ordine formano un migliaio (unità del 4° ordine)

·        10 unità del 4° ordine formano una decina di migliaia (unità del 5° ordine)

·        10 unità del 5° ordine formano un centinaio di migliaia (unità del 6° ordine)

e così via.

Abbiamo quindi vari ordini, che vengono raggruppati per 3 in gruppi, chiamati classi o periodi, per renderne più facile la lettura e la scrittura.

Consideriamo, ad esempio, il numero

13 045 523

e vediamo alcuni modi in cui è possibile indicare il valore di ogni cifra. Possiamo scomporre così:

oppure come somma di prodotti:

3 + 2 x 10 + 5 x 100 + 5 x 1 000 + 4 x 10 000 + 3 x 1 000 000 + 1 x 10 000 000

Possiamo anche usare le potenze del 10 ed effettuare la scomposizione polinomiale:

3 x 10⁰ + 2 x 10¹ + 5 x 10² + 5 x 10³ + 4 x 10⁴ + 3 x 10⁶ + 1 x 10⁷

Finora abbiamo parlato di numeri interi positivi e sappiamo che sono infiniti: questi numeri si chiamano naturali ed appartengono all’insieme N dei numeri naturali che è quindi un insieme ordinato (posso stabilire con certezza quale numero precede o segue un altro) ed infinito che si può rappresentare nei soliti 3 modi:

­       per elencazione            N = {0; 1; 2, 3, …….}

­       per caratteristica          N = {x/x è un numero naturale}

­       graficamente con il diagramma di Eulero - Venn

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Completa

Le unità del 1° ordine sono …………………….

Le unità del 2° ordine sono …………………….

Le unità del 3° ordine sono …………………….

Le unità del 4° ordine sono …………………….

Le unità del 5° ordine sono …………………….

Le unità del 6° ordine sono …………………….

Gli ordini si raggruppano per tre in gruppi chiamati …………………..

2.      Indica il valore di ogni cifra effettuando la scomposizione polinomiale del numero:

7 321 047

3.      Scrivi qual è il numero espresso in forma polinomiale:

• 4 + 8 x 10 + 6 x 100 + 2 x 1 000 + 9 x 10 000 + 2 x 100 000
• 6 x 1 000 + 5 x 10 000 + 1 x 100 000
• 3 + 5 x 10 + 6 x 10 000 + 4 x 100 000
• 9 x 10 000 + 3 x 100 000

4.      Dividi in classi i seguenti numeri e poi scrivili in lettere

3433896

6008472

9107328

6000708

5310801270

5.      Scrivi i numeri formati da:

2 milioni, 8 centinaia, 4 decine e 9 unità

9 decine di migliaia, 6 migliaia, 7 decine

1 decina di migliaia, 5 migliaia, 1 centinaio, 7 decine e 3 unità

12 migliaia, 7 centinaia e 5 unità

28 centinaia, 4 decine e 6 unità

6.      Spiega che cos’è l’insieme N

7.      Scegli qual è l’insieme corretto, se A = {n/n è un numero naturale con n < 10}

• {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9}
• {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9}
• {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10}
• {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10}

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