La sottrazione con i numeri relativi

Vediamo le sottrazioni con i numeri relativi.

Se dobbiamo fare (+7) – (-5), occorre trovare un terzo numero che sommato al secondo dia come risultato il primo.

…….. + (-5) = (+7)

Immaginiamo una retta orientata su cui i numeri positivi sono a destra dello 0 e quelli negativi a sinistra. Partendo da (-5) per arrivare a (+7) dobbiamo spostarci di 12 verso destra.

Il numero che cerchiamo è (+12). Quindi

(+7) – (-5) = +12

Avremmo ottenuto lo stesso risultato operando così:

(+7) + (+5) = + 12

Questo esempio ci fa capire la regola fondamentale: per trovare la differenza di due numeri relativi possiamo addizionare al primo l’opposto del secondo.

Trasformiamo così la sottrazione in un’addizione di cui conosciamo già le regole di esecuzione.

Vediamo alcuni esempi per capire meglio:

·        (+7) – (+4)            trasformo in addizione mettendo l’opposto del secondo numero

(+7) + (-4) = +3

·        (+8) – (-11)

(+8) + (+11) = + 19

·        (-4) – (+9)

(-4) + (-9) = - 13

·        (-8) – (-3)

(-8) + (+3) = -5

Nel caso di sottrazioni con numeri razionali la regola fondamentale resta la stessa. Vediamo un esempio.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1) Individua, tra le seguenti, quali sono le sottrazioni errate e poi scrivi il risultato corretto

· (+6) – (+6)

  (+6) + (+6) = +12

· (+11) – (-2)

  (+11) + (+2) = +13

· (-8) – (-3)

  (+8) + (+3) = +11

· (-4) – (-4)

  (-4) + (+4) = 0

2) Esegui

(-3) – (+5)

(+1) – (-1)

(+9) – (+11)

(-20) – (-11)

(-4,6) – (+2,4)



Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni

I triangoli e le altezze

Il triangolo è un poligono con 3 lati e 3 angoli.

Se ricordiamo le proprietà dei poligoni viste nel post precedente, ricorderemo che se 3 è il numero dei lati, la somma degli angoli interni sarà di (3 – 2) angoli piatti, quindi la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è pari ad un angolo piatto, cioè è 180°.

Sappiamo inoltre che la misura di ciascun lato dovrà essere minore della somma degli altri due lati.

Classifichiamo i triangoli rispetto alla lunghezza dei lati in:

triangolo equilatero: 3 lati congruenti

triangolo isoscele: 2 lati congruenti

triangolo scaleno: 3 lati disuguali

Chiaramente un triangolo equilatero è anche isoscele.

Classifichiamo i triangoli rispetto all'ampiezza degli angoli in:

triangolo acutangolo: tre angoli acuti

triangolo rettangolo: un angolo è retto

triangolo ottusangolo: un angolo è ottuso

Considerando che l’altezza relativa ad un lato è il segmento perpendicolare al lato stesso e che ha origine dal vertice opposto, poiché il triangolo ha 3 lati, avrà anche tre altezze.

In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.

Nel caso dei triangoli acutangoli, l’ortocentro sarà sempre interno al triangolo.

Nel caso del triangolo rettangolo, l’altezza relativa al lato BC coincide con il lato AB (detto anche cateto),  l’altezza relativa al lato AB coincide con il lato BC (altro cateto), l’altezza relativa al lato AC (detto ipotenusa) incontra le altre due altezze nel punto B. Possiamo quindi dire che nei triangoli rettangoli l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.

Nel caso del triangolo ottusangolo, solo l’altezza relativa al lato AB è interna al triangolo, l’altezza relativa al lato CB incontra il prolungamento del lato nel punto D, l’altezza relativa al lato AC incontra il prolungamento del lato nel punto F. Il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze è esterno al triangolo, perciò possiamo affermare che nei triangoli ottusangoli, l’ortocentro sarà sempre esterno al triangolo.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Che cos’è un triangolo?

·        Quanto misura la somma degli angoli esterni di un triangolo?

·        Quanto misura la somma degli angoli interni di un triangolo?

·        Scegli tra queste terne che esprimono le lunghezze dei lati quelle con cui è possibile costruire un triangolo

a) 10, 14, 17                     b) 24, 29, 8                             c) 6, 9, 20

d) 19, 41, 22                     e) 20, 34, 26                            f) 13, 10, 26

g) 15, 17, 31                     h) 20, 28, 51                            i) 15, 3, 18

·        Scegli tra queste terne che esprimono l’ampiezza in gradi degli angoli quelle che possono rappresentare l’ampiezza degli angoli interni di un triangolo

a) 96, 51, 27                     b) 79, 73, 35                           c) 58, 76, 46

d) 111, 31, 38                   e) 99, 30, 31                           f) 59, 66, 70

·        Un triangolo con due angoli ampi 37° e 35°, che tipo di triangolo è?

·        Un triangolo con due angoli ampi 38° e 52°, che tipo di triangolo è?

·        Un triangolo con due angoli ampi 80°, 70°, che tipo di triangolo è?

·        Quali sono i nomi dei lati di un triangolo rettangolo? Disegna un triangolo rettangolo ed indicali

·        Quante sono le altezze di un triangolo?

·        Come si chiama il punto d’incontro delle altezze?

·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre esterno?

·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre interno?

·        Rappresenta l’ortocentro in ognuno di questi triangoli

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi
Visualizza, scarica e stampa le soluzioni

I poligoni

Poligono è detta quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata.

I segmenti che formano la linea spezzata si dicono lati del poligono, gli estremi dei segmenti vertici, gli angoli formati da due segmenti consecutivi sono gli angoli interni del poligono.

Il segmento che collega due vertici non consecutivi si chiama diagonale del poligono.

La linea spezzata è il contorno del poligono e la misura del contorno è il perimetro.

Un poligono con tutti i lati congruenti si dice equilatero.

Un poligono con tutti gli angoli di uguale ampiezza si dice equiangolo.

Un poligono equilatero ed equiangolo si dice regolare.

In base al numero dei lati i poligoni prendono nomi diversi:

3 lati	triangolo
4 lati	quadrilatero
5 lati	pentagono
6 lati	esagono
7 lati	ettagono
8 lati	ottagono
9 lati	ennagono
10 lati	decagono

Se un poligono non contiene nessun prolungamento dei suoi lati è detto convesso; se contiene il prolungamento di uno o più lati si dice concavo.

Vediamo ora alcune proprietà dei poligoni.

Se un poligono ha n lati (n sta per un qualunque numero), avrà anche n vertici, n angoli interni, n angoli esterni. Per ogni vertice ci saranno (n – 3) diagonali, quindi un triangolo non avrà diagonali (3 – 3 = 0), un quadrato ne avrà (4 – 3 = 1) per ogni vertice, un esagono avrà (6 – 3) diagonali per ogni vertice.

Immaginiamo ora di percorrere il contorno del seguente poligono partendo dal vertice A.

Tutti gli angoli che incontriamo percorrendo in senso orario il poligono una sola volta, formati da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo si dicono angoli esterni del poligono.

La somma degli angoli esterni di un qualunque poligono, indipendentemente dal numero dei lati,  corrisponde sempre ad un angolo giro, quindi misura 360°.

a + b + d + e + g = 360°

L’angolo esterno e quello interno con il vertice in comune sono adiacenti e quindi supplementari.

d + l = 180 °

La somma degli angoli interni di un poligono di n lati corrisponde sempre a (n – 2) angoli piatti.

Quindi la somma degli angoli interni di un poligono di 5 lati sarà = (5 – 2) x 180° = 3 x 180° = 540°

Un’ultima annotazione: in un poligono ogni lato è sempre minore della somma dei restanti lati.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZIO

1. Che cos’è un poligono?
2. Disegna un poligono convesso
3. Disegna un poligono concavo
4. In un qualunque poligono quanto misura la somma degli angoli esterni?
5. Quando un poligono si dice regolare?
6. In un poligono di 8 lati, quante sono le diagonali per ogni vertice?
7. Per ogni gruppo indicante la lunghezza di segmenti, scrivi se è possibile costruire un poligono
1. 10, 11, 14, 6
2. 14, 29, 8, 4, 3
3. 16, 15, 6, 10
4. 17, 36, 12
8. Considera i dati di questo poligono e poi rispondi:

AB = 8,1 cm

BC = 2,8 cm

DA = 7,9 cm

CD = BC

a = 36°

b = 52°

d = 44°

Quanti sono i lati del poligono? Qual è il nome del poligono?

Si tratta di un poligono convesso o concavo?

Calcola il suo perimetro

Calcola l’ampiezza dell’angolo w

9. Consideriamo un quadrilatero, di cui conosciamo i seguenti dati:

1. L’angolo maggiore misura 108°
2. L’angolo minore misura 24° 13’ 04’’
3. Gli altri due angoli sono congruenti

Calcola l’ampiezza degli angoli congruenti.

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni



Operazioni con le misure angolari

Per la misura degli angoli consideriamo il sistema sessagesimale, in cui l’unità di misura è l’angolo grado o semplicemente grado di ampiezza pari alla trecentosessantesima parte dell’angolo giro.
Ogni grado a sua volta si suddivide in 60 primi ed ogni primo in 60 secondi.
Se quindi voglio esprimere la misura dell’angolo a, la cui ampiezza è 47 gradi, 13 primi e 25 secondi, potrò scrivere così:
a = 47° 13’ 25”
Consideriamo che ogni volta che abbiamo 60” dovremo cambiarli in un primo; 60’ dovremo cambiarli in 1°. Se le misure sono inferiori o uguali a 59 quindi non si dovrà fare nessun cambio, se superiori a 59 occorrerà procedere al cambio. Questa operazione si chiama riduzione in forma normale, che ora vedremo applicata nelle operazioni.
Vediamo come eseguire addizioni con misure angolari.
Es. 35° 39’ 37” + 7° 40’ 32”
Disponiamo le varie unità in colonna

Vediamo un altro esempio:
10° 24” + 59’ + 20° 57”

Passiamo ora alle sottrazioni con misure angolari.
Es.: 50° 40’ 28” – 26° 45’ 22”

Vediamo un altro esempio:
7° 14’ 26” – 4° 30’ 37”

Per eseguire moltiplicazioni di misure angolari con numeri interi, vediamo come procedere.
32° 17’ 15” x 7

Vediamo un altro esempio:
13° 28’ 30” x 4

Per eseguire divisioni di misure angolari per numeri interi, vediamo come procedere.
44° 35’ 24” : 6

Vediamo un altro esempio:
95° 12’ 40” : 8

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

• 26° 13’ 27” + 6° 15’ 25”
• 16’ 51” + 29° 15’ + 32’ 40”
• 62° 66’ 84” – 12° 77’ 45”
• 70° 14” – 40° 29’ 25”
• 80° 20’ 42” x 3
• 16° 28’ 36” x 5
• 47° 42’ 20” : 5
• 14° 186’ 84” : 3

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi
Visualizza, scarica e stampa le soluzioni