Angoli e rette

Due angoli della stessa ampiezza sono congruenti.

Due angoli la cui somma sia un angolo retto si dicono complementari.

Due angoli la cui somma sia un angolo piatto si dicono supplementari.

Due angoli la cui somma sia un angolo giro si dicono esplementari.

a + b = 90°    a e b sono angoli complementari

d + e = 180°   d e e sono angoli supplementari

w + g = 360°   w e g sono angoli esplementari

Consideriamo ora due rette parallele appartenenti allo stesso piano ed una terza retta incidente ad entrambe. Otteniamo 8 angoli che a coppie godono di alcune proprietà

Consideriamo solo queste coppie

Se invece vediamo queste altre coppie

Consideriamo ora questa situazione

Quindi, per esemplificare, l’angolo 1 è congruente all’angolo 4 perché angoli opposti al vertice, è congruente all’angolo 8 perché angoli alterni esterni, è congruente all’angolo 5 perché angoli corrispondenti.

L’angolo 3, ad esempio, è congruente all’angolo 2 perché angoli opposti al vertice, è congruente all’angolo 6 perché angoli alterni interni, è congruente all’angolo 7 perché angoli corrispondenti.

In sintesi:

1≡4≡5≡8

2≡3≡6≡7

Consideriamo ancora:

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Due angoli si dicono congruenti quando ……………………

2.      Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è ……………….

3.      Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è ……………….

4.      Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è ……………….

5.      Se abbiamo un angolo acuto, l’angolo supplementare può essere un altro angolo acuto? Perché?

6.      

Individua con colori diversi le coppie di angoli alterni esterni. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?

·        1 ≡ 8

·        7 ≡ 2

·        7 ≡ 8

·        7 ≡ 1

7.     

Individua con colori diversi le coppie di angoli corrispondenti. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?

·        4 ≡ 8

·        7 ≡ 4

·        3 ≡ 4

·        5 ≡ 1

8.       

Individua con colori diversi le coppie di angoli alterni interni interni. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?

·        4 ≡ 5

·        4 ≡ 6

·        4 ≡ 3

·        3 ≡ 6

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Gli angoli

Per questa lezione consiglio il seguente percorso:

1) leggi questo post
2) esercitati con Genially (lo trovi al termine delle spiegazioni)
3) allenati svolgendo esercizi con i Moduli di Google (fai clic su questo link)
4) verifica il tuo apprendimento on line su questo blog (vedi al termine del post) oppure a questo link
5) Se preferisci puoi svolgere gli esercizi in forma cartacea e controllare le tue risposte con le soluzioni proposte

Semirette e segmenti

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Gli enti geometrici fondamentali: punto, retta, piano

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Insiemi e rappresentazione degli insiemi

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Problemi di ripartizione

Esaminiamo questa situazione.

Un segmento lungo 240 cm viene diviso in tre parti direttamente proporzionali ai numeri 4, 5 e 6. Qual è la lunghezza delle tre parti?

Questo tipo di problemi in cui una grandezza deve essere suddivisa in parti direttamente proporzionali ad un gruppo di numeri si dicono problemi di ripartizione semplice diretta.

Chiamiamo x, y, z le lunghezze delle tre parti in cui deve essere diviso il segmento; sappiamo poi che queste lunghezze devono essere direttamente proporzionali rispettivamente ai numeri 4, 5 e 6.

Possiamo quindi scrivere la seguente catena di rapporti:

x : 4 = y : 5 = z : 6

A questa catena si può applicare la proprietà del comporre: la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti  come ogni antecedente sta al proprio conseguente. Quindi:

(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = x : 4

(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = y : 5

(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = z : 6

da cui otteniamo

240 : 15 = x : 4

240 : 15 = y : 5

240 : 15 = z : 6

Risolviamo le tre proporzioni e scopriremo la lunghezza delle tre parti.

La lunghezza delle tre parti è di 64 cm, 80 cm, 96 cm.

Vediamo ora quest’altra situazione.

In una gara podistica in montagna vengono premiati i primi tre arrivati. L’ammontare totale del premio è di € 1 500 che sarà assegnato in modo inversamente proporzionale al tempo impiegato, che è stato rispettivamente di 55, 50 e 45 minuti. Quale sarà il premio spettante a ciascun podista?

Questo tipo di problemi in cui una grandezza deve essere suddivisa in parti inversamente proporzionali ad un gruppo di numeri si dicono problemi di ripartizione semplice inversa.

Chiamiamo x, y, z l’ammontare dei tre premi; sappiamo poi che questo ammontare deve essere inversamente proporzionale ai tempi 45^m, 50^m, 55 ^m.

Possiamo quindi scrivere la seguente catena di rapporti: 

 

L’ammontare dei tre premi sarà di € 451,50, € 496,66 ed € 551,84

ESERCIZI

·      Un angolo giro deve essere diviso in tre angoli con le ampiezze direttamente proporzionali ai numeri 2, 3 e 5. Qual è l’ampiezza di ciascun angolo?

·      Un angolo piatto viene diviso in 4 parti inversamente proporzionali a 3/5, 5/4, 3/2 e 5. Calcola l’ampiezza di ciascuna parte.

·      In un piccolo condominio di quattro appartamenti occorre affrontare una spesa straordinaria di 24 000 euro che sarà ripartita in ragione diretta alla superficie di ogni appartamento. Se la superficie degli appartamenti è di 100 m², 70 m², 120 m² e 110 m² quanto dovrà pagare ogni proprietario?

·      Tre Comuni devono effettuare un lavoro di manutenzione straordinaria su una galleria che si trova nella strada che collega i suddetti comuni. La somma preventivata è di 196000 euro. Si decide di suddividere la somma dovuta dai Comuni in parti inversamente proporzionali alle distanze dei Comuni dalla galleria. Conoscendo che le distanze sono rispettivamente 5 km, 8 km, 12 km, quale sarà la spesa di ciascun Comune?

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Problemi del tre composto

Consideriamo una situazione problematica di questo tipo.

Per riscaldare 30 camere di un ospedale per 10 giorni sono stati consumati 90 quintali di gasolio. Quanti quintali di gasolio si consumeranno per riscaldare 25 camere per 18 giorni?

Vediamo come in questo caso la grandezza incognita non dipende solo da un’altra grandezza, dipende da più grandezze. I problemi di questo tipo si chiamano problemi del tre composto perché possiamo considerarli composti da due o più problemi del tre semplice.

Mettiamo i dati in una tabella:

n° camere	n° giorni	quintali di gasolio
30	10	90
25	18	x

Suddividiamo il problema in due problemi del tre semplice, considerando solo due grandezze variabili e mantenendo costante la terza.

Se manteniamo costanti i giorni, avremo

n° camere	n° giorni	quintali di gasolio
30	10	90
25	10	x

Tralasciamo la grandezza costante. La nostra tabella diventa così, considerando che le due grandezze sono direttamente proporzionali.

75 saranno i quintali di gasolio necessari per riscaldare 25 camere per 10 giorni.

Manteniamo ora costante il numero delle camere. E’ come se il nostro problema fosse diventato: “Per riscaldare 25 camere per 10 giorni si consumano 75 quintali di gasolio. Quanti quintali si consumeranno per riscaldare 25 camere per 18 giorni?”. Avremo dunque:

n° camere	n° giorni	quintali di gasolio
25	10	75
25	18	x

Tralasciamo la grandezza costante. La nostra tabella diventa così, considerando che le due grandezze sono direttamente proporzionali.

 

135 saranno i quintali di gasolio necessari per riscaldare 25 camere per 18 giorni.

C’è però la possibilità di usare un procedimento più veloce.

Ripartiamo dalla tabella iniziale e disegniamo una freccia che va dalla x verso il valore conosciuto.

Stabiliamo poi se ogni grandezza è direttamente o inversamente proporzionale rispetto alla grandezza con l’incognita (nel nostro esempio sia la grandezza “n° camere” sia “n° giorni” sono direttamente proporzionali alla grandezza “quintali di gasolio”). Se le grandezze sono direttamente proporzionali disegniamo per ogni grandezza una freccia con lo stesso verso di quella già tracciata, se sono inversamente proporzionali disegniamo una freccia di verso opposto.

Potremo ora calcolare il valore di x moltiplicando il valore noto 90 per le altre grandezze seguendo il verso delle frecce.

Consideriamo questa situazione problematica

Un lingotto d’oro lungo 39 mm, largo 22 mm e spesso 1,3 mm pesa 21 grammi.

Un altro lingotto d’oro è lungo 45 mm, largo 25 mm e pesa 50 grammi. Qual è il suo spessore?

Mettiamo i dati in tabella e tracciamo una freccia dalla x al valore noto.

 

 

ESERCIZI

·      Un automobilista che viaggia 6 ore al giorno alla velocità media di 110 km/h impiega 4 giorni a compiere un certo percorso. Quanto tempo impiegherebbe a fare lo stesso percorso viaggiando 4 ore al giorno alla velocità di 120 km/h?

·      Una lastra di rame lunga 1,5 m , larga 1,2 m e spessa 2,5 mm pesa 40 kg. Quanto peserà un’altra lastra di rame lunga 2 m, larga 0,6 m e spessa 3 mm?

·      In un’azienda 40 operai lavorano 8 ore al giorno producendo 2500 kg di merce in 25 giorni. Quanti giorni impiegheranno 50 operai che lavorano 6 ore al giorno per produrre 3000 kg di merce?

·      Per riempire un piccolo bacino del volume di 180 m³ 5 pompe di sollevamento impiegano 15 ore. Quante ore impiegheranno 8 pompe della stessa portata per riempire un bacino di 240 m³?

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