Identità ed equazioni

Iniziamo prendendo in esame alcuni enunciati veri ed esprimendoli in termini matematici, usando x per indicare il numero:

a)      La differenza tra un numero e zero è uguale al numero stesso

x – 0 = x

b)      Il prodotto di un numero per zero è uguale a zero

x ^. 0 = 0

c)      Un numero moltiplicato per se stesso tre volte è uguale al suo cubo

x ^. x ^. x = x³

Abbiamo ottenuto delle uguaglianze tra espressioni letterali, sempre vere, qualunque sia il valore assegnato. Infatti:

a)      per x = 5 abbiamo 5 – 0 = 5

per x = - 3 abbiamo -3 - 0 = - 3

per x = 3/5 abbiamo 3/5 – 0 = 3/5

b)      per x = 6 abbiamo 6 x 0 = 0

per x = - 5 abbiamo - 5 ^. 0 = - 3

per x = 1/4 abbiamo 1/4 ^. 0 = 0

c)      per x = 4 abbiamo 4 x 4 x 4 = 4³

per x = - 2 abbiamo (- 2) (- 2) (-2) = - 2³

per x = 1/3 abbiamo (1/3) (1/3) (1/3) = (1/3)³

Possiamo affermare che queste uguaglianze che esprimono in termini matematici enunciati veri si dicono identità. Quindi l’identità è un’uguaglianza fra due espressioni verificata per qualunque valore delle lettere presenti.

Prendiamo ora in esame alcuni enunciati aperti ed esprimiamoli in termini matematici, usando x per indicare il numero:

a)      La differenza tra un numero e tre è uguale a quattro

x – 3 = 4

b)      Il prodotto di un numero per due è uguale a dieci

x ^. 2 = 10

c)      Il quadrato di un numero è uguale a 36

x² = 36

Abbiamo ottenuto delle uguaglianze tra espressioni letterali, vere solo per alcuni valori di x. Infatti:

a)      se x = 7 abbiamo 7 – 3 = 4 l’uguaglianza è vera

per x = 5 abbiamo 5 - 3 = 4 l’uguaglianza è falsa

b)      per x = 5 abbiamo 5 x 2 = 10 l’uguaglianza è vera

per x = - 5 abbiamo - 5 ^. 2 = 10 l’uguaglianza è falsa

c)      per x = 6 abbiamo 6² = 36 l’uguaglianza è vera

per x = 7 abbiamo 7² = 36 l’uguaglianza è falsa

Possiamo affermare che queste uguaglianze che esprimono in termini matematici enunciati aperti e che sono soddisfatte solo per determinati valori, si dicono equazioni. Quindi l’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni verificata solo per determinati valori delle lettere presenti.

Vediamo ora la corretta terminologia, considerando ad esempio la seguente equazione

xy – 3x = 6 – 3x

Vediamo che l’equazione è composta da due espressioni letterali, dette rispettivamente 1° e 2° membro dell’equazione.

Le lettere presenti nell’equazione sono dette incognite, mentre i termini che non contengono le incognite sono detti termini noti.

A seconda del numero di lettere diverse presenti in una equazione si parla di equazione a una, a due, a tre, a …. incognite. Nell’esempio sopra abbiamo un’equazione a due incognite.

15 x + 13 = x – 1 è un’equazione ad una incognita.

Il grado di un’equazione si determina individuando il grado più elevato dei monomi che formano l’equazione: 4x² – x = 0 è un’equazione di 2° grado; x²y + y⁴ = 10 è un’equazione di 4° grado.

La soluzione di un’equazione è data dal calcolo dei valori delle incognite che rendono vera l’equazione.

Dobbiamo ora considerare i principi di equivalenza delle equazioni.

Il 1° principio di equivalenza permette di addizionare o sottrarre ai due membri di un’equazione lo stesso numero o una espressione algebrica contenente l’incognita, ottenendo un’equazione equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione 5x + 2 = 17. La soluzione dell’equazione è x = 3. Infatti:

5^. 3 + 2 = 17

Applichiamo ora il 1° principio di equivalenza aggiungendo ad entrambi i membri un numero, ad esempio il numero 4. Otteniamo:

5x + 2 + 4 = 17 + 4 e vediamo che la soluzione è ancora x = 3. Infatti

5^. 3 + 2  + 4 = 17 + 4

Proviamo ora a togliere uno stesso numero, ad esempio 2. Otteniamo:

5x + 2 – 2 = 17 – 2 e notiamo che la soluzione è ancora x = 3. Consideriamo meglio questo esempio:

Confrontiamo questa equazione con quella di partenza, sapendo che sono equivalenti:

5x + 2 = 17

5x = 17 – 2

Notiamo che abbiamo spostato il termine noto dal 1° al 2° membro, cambiandolo di segno.

Possiamo dunque affermare che, in ogni equazione, un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandolo di segno.

Vediamo un esempio

3x – 4 – 2x = 26 – 5x                        è equivalente a 3x – 2x  + 5x = 4 + 26 e cioè 6x = 30

Consideriamo un altro esempio

4x - 6 + 2x = 2x + 6              è equivalente a 4x + 2x – 2x = 6 + 6 e cioè 4x = 12

Se confrontiamo 4x + 2x – 2x = 6 + 6 e  4x = 12 vediamo che in pratica abbiamo eliminato + 2x che era presente in entrambi i membri dell’equazione.  Possiamo dunque affermare che in un’equazione possiamo eliminare eventuali termini uguali presenti sia nel 1° che nel 2° membro.

Ora consideriamo il 2° principio di equivalenza delle equazioni.

Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero), ottenendo un’equazione equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione x – 2 = 14

Moltiplichiamo entrambi i membri per -1. Otteniamo

-1 ^. (x – 2) = -1^. 14     cioè –x + 2 = -14

Questa equazione è equivalente a quella di partenza: possiamo notare come siano cambiati i segni di tutti i termini dell’equazione.

Affermiamo dunque che possiamo ottenere un’equazione equivalente a quella data cambiando il segno di tutti i suoi termini.

Consideriamo ora un’equazione a termini frazionari. Ad esempio:

Notiamo che otteniamo un’equazione equivalente a quella di origine ma ridotta a forma intera.

Possiamo dunque affermare che, data un’equazione a termini frazionari,  possiamo ottenere un’equazione equivalente a quella data e ridotta a forma intera moltiplicando ciascun termine dell’equazione per il m.c.m. di tutti i denominatori.

Sintetizzando tutto il lungo discorso possiamo dire

ESERCIZI

·      Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono identità o equazioni

4 (x + y) = 4x + 4y

x + 6 = 2x

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a + 3 = - (- a – 3)

2 x + 3 = x – 4

·      Individua il grado di ciascuna equazione

3x² – x = 0

xy² + y⁴ = 10

a³ – 3a² + 3a = -1

3a - 7 = - a + 2

·      Indica quali sono le incognite e i termini noti di ciascuna equazione

	Termini noti	Incognite
-2x + 4 = x – 6
x + 2y = 8
ab3 – a2b + c = 2a + 1

·      Che cosa afferma il primo principio di equivalenza?

·      Scrivi un’equazione equivalente a quella data in base al 1° principio di equivalenza

16 = 7x + 2

- 9 + 7x = 2x + 1

8x + 7 – x = 3x + 9

·      Che cosa afferma il secondo principio di equivalenza?

·      Scrivi un’equazione equivalente a quella data in base al 2° principio di equivalenza

3x – 2x + 1 = 10x

·      Riduci a forma intera le seguenti equazioni

                    

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I prodotti notevoli

Divisione

Consideriamo il caso della divisione di un polinomio per un monomio.

Vediamo un esempio:

(-6x³y + 9x²y² – 3xy²) : (-3xy)

Possiamo applicare la proprietà distributiva:

- 6x³y : (-3xy) + 9x²y² : (-3xy) - 3xy² : (-3xy) =

= + 2x² – 3xy + y

Possiamo quindi dire che, se vogliamo dividere un polinomio per un monomio, possiamo dividere ciascun termine del polinomio per il monomio e poi addizionare i quozienti ottenuti.

Vediamo ancora un esempio.

Potenza di polinomi

Se dobbiamo calcolare la potenza di questo polinomio, possiamo operare così

(-2xy + 3x – 2y)² =

= (-2xy + 3x – 2y) (-2xy + 3x – 2y) =

= + 4x²y² – 6x²y + 4xy² – 6x²y + 9x² - 6xy + 4xy² – 6xy +4y² =

= + 4x²y² - 12 x²y + 8xy² + 9x² – 12xy +4y²

Prodotti notevoli

Vi sono alcune moltiplicazioni e potenze particolari, i cui risultati sono chiamati prodotti notevoli, che possiamo eseguire più facilmente applicando alcune regole, che ora andremo a scoprire.

Prodotto della somma per la differenza di due monomi

Sia dato (x + y) (x – y)

Eseguiamo

(x + y) (x – y) = x² – xy + xy - y² = x² - y²

Vediamo un altro caso. Sia dato (3a + 2b) (3a – 2b)

Eseguiamo

(3a + 2b) (3a – 2b) = 9a² – 6ab + 6ab – 4b² = 9a²  – 4b²

In entrambi i casi vediamo  che il prodotto è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi

Quadrato della somma di due monomi

Vediamo un esempio.

(ab + 2a)²

Eseguiamo

(ab + 2a) (ab + 2a) = a²b² + 2a²b + 2a²b + 4a² = a²b² + 4a²b + 4a²

Vediamo un altro esempio

In entrambi i casi osserviamo che il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo monomio.

Cubo della somma o della differenza di due monomi

Consideriamo questo caso

(a + 2b)³

Eseguiamo

(a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)

Ci accorgiamo che l’operazione sottolineata rientra nel caso visto in precedenza (il quadrato della somma di due monomi) quindi:

(a² + 4ab + 4b²) (a + 2b) =

= a³ + 2a²b + 4a²b + 8ab² + 4ab² + 8b³ =

= a³ + 6a²b + 12ab² +8b³

Possiamo notare che il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo monomio (a³) più il cubo del secondo monomio (b³) più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo (3 ^. a^{2 .} 2b) più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo ( 3 ^. a ^. 4b²)

Vediamo un altro caso usando le proprietà dei prodotti notevoli.

Vediamo un esempio con la differenza

(a – b)³ = a³ + 3 ^. a^{2 .} (- b) + 3 ^. a ^. (-b)² + (-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

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