Consideriamo due insiemi:
A = {x/x è una città europea}
B = {x/x è uno stato europeo}
Possiamo stabilire una corrispondenza
tra i due insiemi utilizzando una proprietà
che permetta di associare gli elementi di A
con quelli di B.
In questo caso la proprietà è “ è una città che appartiene allo Stato”.
La proprietà della corrispondenza si chiama relazione e
viene indicata con il simbolo R.
Possiamo quindi dire che la relazione R.
tra due insiemi è la proprietà
che mette in corrispondenza gli elementi dei due insiemi.
Se a Î A e b
Î
B ed a e b sono in
corrispondenza secondo la relazione R possiamo dire che a R b.
Se noi consideriamo un solo insieme invece dei due
dell’esempio precedente, le caratteristiche che abbiamo individuato sono ancora
valide.
Consideriamo l’insieme:
A = {Genova, Torino, Milano, Bologna, Venezia,
Udine, Trento}
e stabiliamo la relazione
R: “…. ha lo stesso numero di lettere di …”
Rappresentiamo graficamente la relazione in una tabella a doppia entrata
Genova
|
Torino
|
Milano
|
Bologna
|
Venezia
|
Udine
|
Trento
|
|
Genova
|
X
|
X
|
X
|
X
|
|||
Torino
|
X
|
X
|
X
|
X
|
|||
Milano
|
X
|
X
|
X
|
X
|
|||
Bologna
|
X
|
X
|
|||||
Venezia
|
X
|
X
|
|||||
Udine
|
X
|
||||||
Trento
|
X
|
X
|
X
|
X
|
Abbiamo quindi stabilito queste corrispondenze:
Genova R. Genova
Genova R. Torino
Genova R. Milano
Genova R. Trento
Torino R. Genova
Torino R. Torino
Torino R. Milano
Torino R. Trento
Milano R. Genova
Milano R. Torino
Milano R. Milano
Milano R. Trento
Bologna R. Bologna
Bologna R. Venezia
Venezia R. Bologna
Venezia R. Venezia
Udine R. Udine
Trento R. Genova
Trento R. Torino
Trento R. Milano
Trento R. Trento
Possiamo usare anche i diagrammi di Eulero-Venn per la
rappresentazione sagittale
Possiamo quindi dire che la relazione R.
in un insieme A è la proprietà
che mette in corrispondenza gli elementi di A con gli elementi di A.
La relazione R.
in un insieme può godere di alcune proprietà,
tra cui:
·
La proprietà riflessiva
Se consideriamo l’insieme A = {leone,
tigre, lupo, orso, toro} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. inizia
con la stessa lettera dell’alfabeto di ….” vediamo che ogni elemento è in
relazione con se stesso perché leone inizia con la stessa lettera di leone,
tigre inizia con la stessa lettera di tigre, ecc.
Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà riflessiva quando ogni elemento di A è
in relazione con se stesso
a R. a " a Î
A
·
La proprietà simmetrica
Se consideriamo sempre l’insieme
A = {leone,
tigre, lupo, orso, toro} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. inizia
con la stessa lettera dell’alfabeto di ….” vediamo che se
leone R. lupo è vero anche che lupo R.
leone perché se “leone”
inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di “lupo” anche “lupo” inizia con la
stessa lettera dell’alfabeto di “leone”
Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà simmetrica quando, se un elemento a R. b è
vero anche b R a
Se a
R. b Þ b R a " a, b Î A
·
La proprietà transitiva
Se consideriamo un insieme A = {Paolo,
Luigi, Marco, Ugo, Mario} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. ha lo
stesso numero di scarpe di ….” vediamo che se Paolo R. Marco e Marco R. Ugo possiamo dire anche che Paolo R.
Ugo perché se Paolo ha lo
stesso numero di scarpe di Marco e Marco ha lo stesso numero di scarpe di Ugo,
anche Paolo avrà lo stesso numero di scarpe di Ugo.
Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà transitiva quando, considerando tre
elementi qualsiasi a, b, c Î A se a R. b e b R. c è
vero anche a R c
Se a
R. b e b R c Þ a R c " a, b, c Î
A
ESERCIZI
·
Quale
proprietà indica questa scrittura: se a
R.
b Þ
b R a " a, b Î
A?
·
Quale
proprietà indica questa scrittura: a
R.
a " a Î A?
·
Quale
proprietà indica questa scrittura: se a
R.
b e b R c Þ a R c " a, b, c Î
A?
·
Dati due
insiemi:
A = {d; e; f; g}
B = {erba, fiore, dado, gatto,
edera, geranio}
sono vere le seguenti scritture:
Individua la relazione R.
·
Dati due
insiemi:
A = {Lisbona, Madrid, Siviglia,
Parigi, Lione, Roma, Milano}
B = {Portogallo, Spagna, Francia,
Italia}
sono vere le seguenti scritture:
Individua la relazione R.
·
Consideriamo
l’insieme A
A = {mare, luce, macina, remo,
lumaca, lunedì, resa}
Nell’insieme A stabiliamo la
relazione
R. =
“….inizia con la stessa sillaba di ……”
Rappresenta questa relazione con
una tabella a doppia entrata
·
Quali,
tra queste relazioni, godono della proprietà riflessiva?
·
“ …. è più basso di …….”
·
“ …. è la nonna di …….”
·
“ …. ha la stessa età di …….”
·
“ …. abita nella stessa regione di …….”
·
“ …. è il padre di …….”
·
Quali,
tra queste relazioni, godono della proprietà simmetrica?
·
“ …. è più vecchio di …….”
·
“ …. è il figlio di …….”
·
“ …. è nato nello stesso anno di …….”
·
“ …. abita nella stessa città di …….”
·
“ …. è più alto di …….”
·
Quali,
tra queste relazioni, godono della proprietà transitiva?
·
“ …. è più giovane di …….”
·
“ …. è la figlia di …….”
·
“ …. è nato nello stesso mese di …….”
·
“ …. abita nella stessa città di …….”
·
“ …. è la metà di …….”
