Sappiamo già che possiamo considerare la frazione come
operatore, in quanto ci permette di operare su di una grandezza.
Ora consideriamo invece la frazione come quoziente tra due
numeri, il numeratore ed il denominatore.
2/5 = 2 : 5
Consideriamo per un momento i numeri naturali e scopriremo
che qualunque numero naturale si può scrivere sotto forma di frazione.
Cominciamo dallo “0”: si può scrivere come una frazione
avente “0” al numeratore. Infatti:
0/4 = 0 : 4 = 0
0/6 = 0 : 6 = 0
Passiamo al numero 1: si può indicare con una frazione
apparente con numeratore uguale al denominatore
3/3 = 3 : 3 = 1
5/5 = 5 : 5 = 1
Tutti gli altri numeri naturali si possono scrivere con una
frazione con denominatore 1
10/1 = 10 : 1 = 10
7/1 = 7 : 1 = 7
oppure
con una frazione avente al numeratore un multiplo del
denominatore. Ad esempio se io volessi scrivere il numero 15 sotto forma di
frazione potrei scrivere così: 15/1, 30/2, 45/3, ecc
Considerando la frazione come quoziente tra due numeri, possiamo
quindi stabilire un nuovo insieme che includerà tutte le frazioni. Chiameremo
questo insieme come insieme Q+.
Da quanto detto sopra possiamo facilmente capire come
l’insieme dei numeri naturali N sia un sottoinsieme dell’insieme Q+
ed indicheremo questa relazione così: N
Ì
Q+.
Sappiamo
già che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando
o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si
ottiene una frazione equivalente a quella data.
Consideriamo
ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16,
15/20, ecc.
E’
evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.
Tutte
le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di
equivalenza. Se consideriamo, ad
esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:
A = {3/5,
6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}
Consideriamo
la classe di equivalenza sopra descritta: se calcoliamo il valore numerico di
frazioni che appartengono ad una stessa classe di equivalenza ci accorgiamo che
il risultato è sempre uguale.
3/5 = 3
: 5 = 0,6
6/10 =
6 : 10 = 0,6
9/15 =
9 : 15 = 0,6
12/20 =
12 : 20 = 0,6
Possiamo
allora rappresentare tutta la classe con una sola frazione della classe, quella
irriducibile.
L’insieme
di tutte le classi di equivalenza è l’insieme
Q+ che viene
chiamato insieme dei numeri razionali, che,
come abbiamo visto include anche l’insieme N dei numeri naturali. Possiamo
sintetizzare con il diagramma di Eulero Venn
Proviamo ora a rappresentare i numeri naturali su una
semiretta orientata
Immaginiamo di voler rappresentare il numero razionale {1/3;
2/6; 3/9; 4/12; …..}
Consideriamo la frazione che rappresenta la classe di
equivalenza 1/3 ed operiamo dividendo l’unità di misura in 3 parti e considerandone
1. Il punto T è l’immagine del numero razionale {1/3; 2/6; 3/9; 4/12; …..}
mentre il punto T’ è l’immagine del numero razionale {8/3; 16/6; 24/9; 32/12;
…..}
Vediamo un altro esempio
ESERCIZI
·
L’insieme dei numeri razionali forma un nuovo
insieme numerico, detto ……………………………
·
L’insieme N dei numeri naturali è un
sottoinsieme di questo nuovo insieme?
·
In quale modo la frazione 4/5 può essere
considerata come il quoziente tra due numeri?
·
Prova a scrivere sotto forma di frazioni i
numeri:
2, 7, 15, 19
·
Individua il numero razionale rappresentato
dalla frazione 2/5. Esso è minore, maggiore o uguale ad 1?
·
Individua il numero razionale rappresentato
dalla frazione 5/4. Esso è minore, maggiore o uguale ad 1?
·
Individua il numero razionale rappresentato
dalla frazione 3/1. Il numero che hai scritto è uguale a quale numero naturale?
·
Scrivi
alcuni numeri razionali rappresentati dalle seguenti frazioni
5/8 = {……………………..………}
7/5 = {……………………..………}
2/3 = {……………………..………}
7/1 = {……………………..………}
