Consideriamo le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9 ed operiamo con queste frazioni sulla
medesima grandezza, questa:
Otteniamo:
Notiamo che, avendo operato sulla stessa grandezza iniziale,
abbiamo ottenuto lo stesso risultato: la parte colorata è equivalente nei tre
casi.
Possiamo quindi dire che le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9 sono equivalenti
e ricavare la definizione di frazioni equivalenti. Due o più frazioni sono equivalenti quando, operando sulla stessa
grandezza, risultano grandezze congruenti.
Come possiamo ottenere frazioni equivalenti ad una data?
Se osserviamo le frazioni sopra indicate vediamo che
Ci accorgiamo che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore
che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente
a quella data.
Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni
equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.
E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono
infinite.
Tutte le frazioni
equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza.
Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:
A = {3/5,
6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}
La proprietà invariantiva di cui godono le frazioni permette
alcuni utilizzi molto importanti.
Ad esempio permette di semplificare
una frazione. Cosa significa semplificare una frazione? Significa trasformarla
in un’altra frazione equivalente con i termini più piccoli e su cui, quindi, è
più semplice operare.
Non tutte le frazioni si possono semplificare, ci sono frazioni riducibili ed altre irriducibili.
Consideriamo ad esempio la frazione 16/36. Essa è riducibile
perché 16 e 36 hanno divisori comuni. Possiamo dunque semplificarla in diversi
modi.
Se invece consideriamo la frazione 5/9 vediamo che è
irriducibile perché 5 e 9 non hanno divisori comuni, sono numeri primi tra
loro.
Proviamo a semplificare le seguenti frazioni: 14/4; 24/27;
20/7; 25/20
Proviamo a semplificare la frazione 42/18 sino ad ottenere
una frazione equivalente ed irriducibile.
Abbiamo operato una riduzione
ai minimi termini della frazione 42/18 dividendo entrambi i termini prima
per 2 e poi per 3. Avremmo ottenuto lo stesso risultato dividendo subito
entrambi i termini per 6, cioè per il M.C.D. di 42 e 18.
Possiamo quindi affermare che ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla in
un’altra frazione equivalente ed irriducibile.
Il metodo più efficace per operare la riduzione ai minimi
termini è quello di individuare il M.C.D. del numeratore e del denominatore e
poi dividere entrambi i termini per il M.C.D.
Vediamo un esempio:
Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 48/126
48
|
2
|
24
|
2
|
12
|
2
|
6
|
2
|
3
|
3
|
1
|
126
|
2
|
63
|
3
|
21
|
3
|
7
|
7
|
1
|
48 = 24 x 3 126
= 2 x 32 x 7
M.C.D. = 2 x 3 = 6
Un altro esempio
Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 45/150
45
|
3
|
15
|
3
|
5
|
5
|
1
|
150
|
2
|
75
|
3
|
25
|
5
|
5
|
5
|
1
|
45 = 32 x 5 150
= 2 x 3 x 52
M.C.D. = 3 x 5 = 15
ESERCIZI
·
Che cosa
afferma la proprietà invariantiva delle frazioni?
·
Quando
possiamo dire che una frazione è irriducibile?
·
Nel
seguente elenco di frazioni, individua con colori diversi le frazioni tra loro
equivalenti
2/3; 6/7; 4/6; 3/2;
6/8; 6/9; 12/18; 18/21;
·
Nel
seguente elenco di frazioni, individua le frazioni riducibili
20/30; 5/3; 4/8;
7/23; 6/24; 16/3; 28/42; 40/28; 6/17; 2/22
·
Nel
seguente elenco di frazioni, individua le frazioni irriducibili
12/18; 6/5; 3/14;
9/12; 7/14; 12/5; 12/13; 8/24
·
Completa
le uguaglianze in modo che le frazioni risultino equivalenti tra loro
·
Riduci ai
minimi termini le seguenti frazioni:
34/126; 66/77; 15/50;
27/18; 32/48; 44/40; 125/500; 160/450; 4400/5200
