Altri casi di proporzioni

Riprendiamo il discorso sulla risoluzione delle proporzioni vedendo, come anticipato nel precedente post,  come sia possibile, applicando le proprietà delle proporzioni, ricondurre i diversi casi ai tre che già conosciamo, cioè fare in modo che l’incognita sia un estremo o un medio.

Consideriamo questo caso:

(56 – x) : x = 35 : 5

Se noi riusciamo ad eliminare la x nella parentesi, la proporzione sarebbe facilmente risolvibile.

Possiamo farlo applicando la proprietà del comporre (nel nostro caso la somma del 1° e 2° termine sta al 2° termine come la somma del 3° e del 4° termine sta al 4° termine).

(56 – x + x) : x = (35 + 5) : 5 da cui

56 : x = 40 : 5 per cui

Vediamo un’altra situazione:

48 : 12 = (42 + x) : x

Anche in questo caso se noi riusciamo ad eliminare la x nella parentesi, la proporzione sarebbe facilmente risolvibile.

Possiamo farlo applicando la proprietà dello scomporre (nel nostro caso la differenza del 1° e 2° termine sta al 2° termine come la differenza del 3° e del 4° termine sta al 4° termine).

(48 – 12) : 12 = (42 + x – x) : x da cui

36 : 12 = 42 : x per cui

Se in una proporzione i termini mancanti sono due (ad esempio x e y) possiamo risolvere la proporzione solo se conosciamo la somma o la differenza dei due termini incogniti.

Consideriamo la proporzione:

x : y = 4 : 7 sapendo che x + y = 33

Conoscendo la somma dei due termini possiamo applicare la proprietà del comporre

(x + y) : x = (4 + 7) : 4 da cui deriva

33 : x = 11 : 4 per cui

Per trovare il valore di y basta togliere dalla somma 33 il valore di x

y = 33 – 12 = 21

La proporzione è diventata 12 : 21 = 4 : 7

Consideriamo ora invece quest’altra proporzione:

x : y = 49 : 7 sapendo che x - y = 54

Conoscendo la differenza dei due termini possiamo applicare la proprietà dello scomporre

(x - y) : x = (49 - 7) : 49 da cui deriva

54 : x = 42 : 49 per cui

Per trovare il valore di y basta pensare che y = x – 54 e che quindi y = 63 – 54 = 9

La proporzione è diventata 63 : 9 = 49 : 7

ESERCIZI

Applica le proprietà delle proporzioni e risolvi

·      (12 + x) : 29 = x : 5

·      x : 18 = (15 – x) : 27

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi (word, pdf)

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni (word, pdf)

Risolvere le proporzioni

Risolvere una proporzione significa calcolare il valore del termine o dei termini incogniti, utilizzando i termini noti.

Vediamo le diverse situazioni che possono presentarsi.

• L’incognita è un estremo, conosciamo gli altri tre termini.

8 : 5 = 24 : x

In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:

8 ^. x = 24 ^. 5 e quindi

8 ^. x = 120 per cui

x = 120/8 = 15

Notiamo che abbiamo calcolato il prodotto dei medi e poi l’abbiamo diviso per l’estremo noto.

Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.

• L’incognita è un medio, conosciamo gli altri tre termini.

25 : 15 = x : 5

In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:

15 ^. x = 25 ^. 5 e quindi

15 ^. x = 125 per cui

 

Notiamo che abbiamo calcolato il prodotto degli estremi e poi l’abbiamo diviso per il medio noto.

Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.

• La proporzione è continua (i medi sono uguali e si dicono medi proporzionali), l’incognita è il medio proporzionale, conosciamo i due estremi.

32 : x = x : 2

In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:

32 ^. 2 = x² e quindi

64 = x² per cui

 

Notiamo che abbiamo calcolato la radice quadrata del prodotto degli estremi.

Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.

Può accadere che una proporzione si presenti in forma diversa dalle tre che abbiamo visto ora: in un prossimo post vedremo come sia possibile, applicando le proprietà delle proporzioni, ricondurre i diversi casi ai tre che abbiamo visto oggi, cioè fare in modo che l’incognita sia un estremo o un medio, che quindi sappiamo calcolare.

ESERCIZI

 

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi (in word, in pdf)

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni (in word, in pdf)

Risolvere equazioni di primo grado

Sappiamo che la soluzione di un’equazione è data dal calcolo dei valori delle incognite che rendono vera l’equazione. Se consideriamo l’equazione 3x = 21 notiamo che il primo membro dell’equazione è formato da un unico termine, detto coefficiente della x, mentre il secondo membro è formato da un unico termine noto. Un’equazione di questo tipo si dice ridotta in forma normale.

Come possiamo risolvere un’equazione ridotta in forma normale? E’ sufficiente dividere il termine noto dell’equazione per il coefficiente dell’incognita.

3x = 21           x = 21/3 = 7

Vediamo alcuni altri esempi

E se l’equazione non è ridotta a forma normale? Occorre ridurla a forma normale seguendo alcune regole.

1) Occorre innanzitutto eliminare le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le regole già note.

 

2) Se, come in questo caso, l’equazione è con termini frazionari, occorre ridurla a forma intera. A tal fine bisogna calcolare il m.c.m. dei denominatori; m.c.m. (3; 2) = 6 e successivamente moltiplicare ciascun membro dell’equazione per l’m.c.m.

  

3) Una volta ridotta l’equazione a forma intera, in virtù del 1° principio di equivalenza che ci consente di spostare qualsiasi termine da un membro all’altro cambiandolo di segno, trasportiamo tutti i termini in x al 1° membro e tutti i termini noti al 2° membro.

4 + 3x + 18x – 18x + 12x = - 4 – 12 - 4

4) Ora eseguiamo l’addizione algebrica dei termini del 1° e del 2° membro, riducendo così l’equazione a forma normale.

3x + 18x – 18x + 12x = - 4 – 12 - 4

15x = -20

 

5) Risolviamo ora l’equazione dividendo il termine noto dell’equazione per il coefficiente dell’incognita.

Quando siamo nella fase 5 e quindi abbiamo l’equazione ridotta in forma normale da risolvere, possono presentarsi questi casi, di cui ora proporremo un’esemplificazione:

a)      Nell’equazione risolta sopra abbiamo avuto al termine

    

La soluzione esiste ed è unica: l’equazione è determinata.

b)      Immaginiamo di avere questa equazione ridotta a forma normale

Anche in questo caso a soluzione esiste ed è unica: l’equazione è determinata.

c)      Immaginiamo di avere questa equazione ridotta a forma normale

0x = 15

x non può avere nessun valore perché non esiste un numero che moltiplicato per zero dia 15 o qualunque altro numero diverso da zero: l’equazione è impossibile.

d)      Immaginiamo di avere questa equazione ridotta a forma normale

0x = 0

x può assumere il valore di qualsiasi numero perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero: l’equazione è indeterminata perché ha infinite soluzioni.

ESERCIZI

·      Risolvi le seguenti equazioni

11x + 3 – 4 = 12x + 6 – 2x

4(x + 2) – 2x = 2(x + 6)

5x + 6(3x – 1) = 7x + 4(x – 2) + 1

3(6x – 4) + 12x = 5(4x + 1) + 10x – 17

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi (in word, in pdf)
Visualizza, scarica e stampa le soluzioni (in word, in pdf)