Nell’immagine si vedono alcuni cerchi in cui sono stati
inscritti dei poligoni regolari con un numero crescente di lati (7, 9 12
rispettivamente): notiamo che aumentando il numero dei lati del poligono, il
perimetro di questo tende sempre più a coincidere con la circonferenza mentre
la lunghezza dell’apotema tende sempre più ad essere congruente a quella del
raggio.
E’ chiaro quindi che immaginando un poligono con sempre più
lati, anzi con infiniti lati, il suo perimetro andrà a coincidere con la
circonferenza, l’apotema sarà congruente al raggio e quindi l’area del poligono sarà uguale all’area
del cerchio.
L’area del poligono si calcola con la formula
Dovendo risolvere problemi sul calcolo dell’area della
superficie di un cerchio potremo
approssimare π a 3,14 oppure lasciare
indicato il simbolo π.
Area del settore circolare
C’è una formula che permette di calcolare l’area di un
settore circolare: indichiamo con l la lunghezza dell’arco che limita
il settore circolare, con r il raggio della circonferenza.
Si può procedere anche diversamente. Notiamo dall’immagine
sopra che ad un angolo al centro di 360° corrisponde l’area di tutto il cerchio
ed osserviamo anche che l’angolo al centro e l’area del rispettivo settore
circolare sono grandezze direttamente proporzionali. Potremo dunque dire che:
As : Ac = α° : 360°
Area del segmento circolare
Sappiamo che una qualsiasi corda appartenente ad un cerchio
permette di ottenere due segmenti circolari, uno minore della semicirconferenza (fig. 1) ed uno maggiore della semicirconferenza (fig 2).
Nel primo caso l’area del segmento circolare si otterrà
sottraendo dall’area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di
circonferenza l’area del triangolo ABO (fig 1 bis); nel secondo caso l’area si
otterrà invece sommando all’area del settore circolare corrispondente l’area
del triangolo ABO (fig 2 bis).
Area della corona circolare
L’area della corona circolare si otterrà sottraendo
dall’area del cerchio maggiore l’area del cerchio minore. Quindi: π R2 - π r2
ESERCIZI
·
Due
cerchi hanno l’area rispettivamente di 615,44 cm2 e di 379,94 cm2.
Calcola l’area di un terzo cerchio con il raggio congruente alla differenza dei
raggi dei due cerchi dati.
·
L’area di
un settore circolare è di 314 cm2 e il diametro del cerchio a cui
appartiene misura 24 cm. Calcola l’ampiezza dell’angolo al centro
corrispondente.
·
Un
settore circolare è limitato da un arco lungo 62 cm e appartiene ad un cerchio
con l’area di 3364 π cm2. Calcola l’area del settore.
·
In un
cerchio un settore circolare ha l’area di 32 π cm2 ed è limitato da
un arco lungo 12,56 cm. Calcola l’area del cerchio.
·
Sapendo
che un settore circolare ha l’area di 28,26 cm2 e il raggio del
cerchio a cui appartiene misura 6 cm, calcola:
a.
La lunghezza
dell’arco che delimita il settore.
b.
L’ampiezza
dell’angolo al centro corrispondente.
·
Calcola
l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 90°
e appartenente ad un cerchio con il raggio di 24 cm.
·
Calcola
l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio
270° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 30 cm.
·
Una
corona circolare è limitata da due circonferenze aventi i rispettivi raggi
lunghi 25 e 15 cm. Calcola l’area della corona circolare.
