Ricordiamo alcuni concetti.
Due semirette orientate perpendicolari, su cui è individuata
una unità di misura, si chiamano assi
cartesiani. L’asse orizzontale è l’asse
delle ascisse o asse x, l’asse verticale è l’asse delle ordinate o asse y.
Un punto del piano cartesiano è definito da una coppia
ordinata di numeri, detti coordinate
cartesiane: il primo è sull’asse x,
il secondo è sull’asse y.
Il piano su cui è stabilito un sistema di riferimento
cartesiano si dice piano cartesiano.
Il piano cartesiano risulta diviso dai due assi x e y
in quattro parti dette, in senso antiorario, I, II, III, IV quadrante.
Possiamo vedere
dall’immagine sopra le coordinate dei punti segnati e fare alcune osservazioni:
A (+2,+6)
|
Tutti i punti
appartenenti al I q. hanno sia ascissa che ordinata positivi
|
B (-8, +6)
|
Tutti i punti
appartenenti al II q. hanno ascissa negativa e ordinata positiva
|
C (-6, -2)
|
Tutti i punti
appartenenti al III q. hanno sia ascissa che ordinata negative
|
D (+4, - 6)
|
Tutti i punti
appartenenti al IV q. hanno ascissa positiva e ordinata negativa
|
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Vediamo alcune altre osservazioni, partendo dalle coordinate
dei punti A, B e C.
A = (-6, -4)
B = (-2, -4)
C = (+4, - 4)
Notiamo che punti che hanno
un’uguale ordinata (-4) appartengono ad una retta r parallela all’asse x, distante 4 u dall’asse x.
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Vediamo alcune altre osservazioni, partendo dalle coordinate
dei punti A, B e C.
A = (-5, +5)
B = (-5, +1)
C = (-5, - 3)
Notiamo che punti che hanno
un’uguale ascissa (-5) appartengono ad una retta r parallela all’asse y, distante 5 u dall’asse y.
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Come si calcola la distanza di due punti in un sistema di
riferimento cartesiano?
Osserviamo il caso in cui i due punti appartengono ad una retta r parallela all’asse y.
Rappresentiamo i punti A (-3; + 5) e B (-3; -3).
Facendo corrispondere l’unità di misura u ad 1 cm vediamo che la distanza è di 8 cm, che è anche la
differenza delle ordinate di A e B.
(+5) – (-3) = 8 cm
possiamo dunque dire che la distanza di due punti che sono allineati su una retta parallela
all’asse y è data dalla differenza,
in valore assoluto, delle ordinate.
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Osserviamo ora il caso in cui i due punti appartengono ad una retta r parallela all’asse x.
Rappresentiamo i punti A (-6; -6) e B (+4; -6).
Facendo corrispondere l’unità di misura u ad 1 cm vediamo che la distanza è di 10 cm, che è anche la
differenza delle ascisse di A e B.
(-6) – (+4) = 10 (lavorando sulle misure se il risultato è
negativo si considera il valore assoluto)
possiamo dunque dire che la distanza di due punti che sono allineati su una retta parallela
all’asse x è data dalla differenza,
in valore assoluto, delle ascisse.
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Osserviamo infine il caso in cui i due punti non appartengono ad una stessa retta.
Rappresentiamo i punti A (+3; -3) e B (-6; +4). Individuiamo
ora il punto P (-6; -3)
Facendo corrispondere l’unità di misura u ad 1 cm costruiamo il triangolo rettangolo PBA ed applichiamo il
teorema di Pitagora.
ESERCIZI
·
A quale
quadrante del piano cartesiano appartengono i seguenti punti:
I
|
II
|
III
|
IV
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(-5; +4)
|
□
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□
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□
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□
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(+5; +2)
|
□
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□
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□
|
□
|
(+4; -3)
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□
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□
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□
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□
|
(-3; -5)
|
□
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□
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□
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□
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·
Determina
le coordinate dei punti rappresentati sul piano cartesiano.
·
Tre dei
seguenti punti, di cui conosci le coordinate, appartengono a una stessa retta
parallela all’asse y. Quali sono?
A(-3; 2) B(3; -4) C(-4; 1)
D(3; 7) E(4; 2) F(-6; 0)
G(3; 1) H(1; 3) I(-2; -2)
·
Tre dei
seguenti punti, di cui conosci le coordinate, appartengono a una stessa retta
parallela all’asse x. Quali sono?
A(-6; -3) B(4; 2) C(6; 3)
D(1; -3) E(8; -3) F(1; 3)
G(-4; 4) H(3; 0) I(-3; -2)
·
Rappresenta
sul piano cartesiano le coppie di punti indicate e calcolane la distanza
facendo corrispondere l’unità di misura
a un centimetro.
A(-3;0) B(-4;0)
C(-3; -3) D(-3; +7)
E(-5; -4) F(7; 1)
·
Calcola
perimetro ed area del poligono che si ottengono congiungendo, nell’ordine dato,
i seguenti gruppi di punti.
A(-6; 1) B(6; 1) C(0; 7)
A(-3; 3) B(-3; -6) C(1; -3) D(1;
3)
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