Parabole, iperboli e loro equazioni

Consideriamo l’equazione di secondo grado y = 3x². Le equazioni di secondo grado hanno come rappresentazione grafica una curva.

Costruiamo la tabella dei valori:

x	0	1	-1	2	- 2
y	0	3	3	12	12

Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:

O(0 ; 0)           A(1; 3)            B(-1; 3)

C(2 ; 12)         D(-2; 12)

Congiungendo con una curva i punti otteniamo una parabola in cui l’origine degli assi è il vertice della parabola mentre l’asse y è l’asse di simmetria della parabola.

Consideriamo ora l’equazione di secondo grado y = -3x².

Costruiamo la tabella dei valori:

x	0	1	-1	2	- 2
y	0	-3	-3	-12	-12

Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:

O(0 ; 0)           A(1; - 3)                      B(-1; - 3)

C(2 ; - 12)       D(-2; - 12)

Congiungendo con una curva i punti otteniamo ancora una parabola in cui l’origine degli assi è il vertice della parabola mentre l’asse y è l’asse di simmetria della parabola.

La differenza con la parabola precedente consiste nel fatto che la prima parabola ha la concavità rivolta verso l’alto, mentre la seconda ha la concavità rivolta verso il basso.

Generalizzando possiamo dire che un’equazione del tipo y = kx² (indichiamo con k qualsiasi numero relativo) è l’equazione di una parabola con l’asse y come asse di simmetria e come vertice l’origine degli assi: se k > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto (semiasse positivo delle y), se k < 0 la parabola ha la concavità verso il basso (semiasse negativo delle y).

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Consideriamo ora l’equazione di secondo grado xy = 12.

Costruiamo la tabella dei valori:

x	1	2	3	4	6	12
y	12	6	4	3	2	1

Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:         

A(1; 12)          B(2 ; 6)            C(3 ; 4)           D(4 ; 3)

E(6 ;  2)           F(12 ; 1)

Congiungendo i punti otteniamo una curva che è un ramo di iperbole.

Consideriamo ora la stessa equazione di prima xy = 12 e costruiamo la tabella dei valori considerando anche i valori negativi della x.

x	1	-1	2	-2	3	-3	6	-6
y	12	-12	6	-6	4	-4	2	-2

Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:         

A(1; 12)          B(- 1 ; - 12)     C(2 ; 6)           D(- 2 ; - 6)

E(3 ;  4)           F(- 3 ; - 4)       G(6 ; 2)           H(- 6; - 2)

Vediamo che otteniamo due rami, uno nel I quadrante, l’altro nel III quadrante, simmetrici rispetto all’origine degli assi. Si tratta di una iperbole equilatera.

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Consideriamo ora l’equazione xy = -12 e costruiamo la tabella dei valori considerando anche i valori negativi della x.

x	1	-1	2	-2	3	-3	6	-6
y	-12	12	-6	6	-4	4	-2	2

Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:         

A(1; - 12)        B(- 1 ; 12)       C(2 ; - 6)         D(- 2 ; 6)

E(3 ;  - 4)        F(- 3 ; 4)         G(6 ; - 2)         H(- 6; 2)

Vediamo che anche stavolta otteniamo due rami, uno nel II quadrante, l’altro nel IV quadrante, simmetrici rispetto all’origine degli assi. Si tratta di una iperbole equilatera.

Generalizzando possiamo dire che un’equazione del tipo xy = k (indichiamo con k qualsiasi numero relativo) è l’equazione di una iperbole equilatera: se k > 0 l’iperbole giace nel I e III quadrante, se k < 0 l’iperbole giace nel II e IV quadrante.

ESERCIZI

·      Che tipo di linea rappresenta un’equazione del tipo xy = k?

·      Che tipo di linea rappresenta un’equazione del tipo y = kx²?

·      Il grafico di ciascuna delle seguenti parabole ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle y o verso il semiasse negativo delle y?

a.      y = 1/2x²

b.      y = -7x²

c.       y = -2/3x²

d.      y = 12 x²

·      In quali quadranti si trova il grafico di ciascuna delle seguenti iperbole?

a.      xy = 15

b.      xy = - 2/3

c.       xy = 1

d.      xy = - 10

·      Disegna nel piano cartesiano la parabola di equazione y = ¼ x²

·      Disegna nel piano cartesiano l’iperbole di equazione xy = - 4

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Equazioni e rette particolari

Sappiamo già che ogni equazione del tipo y = mx + p (con m e p che indicano qualsiasi numero relativo) ha come equazione una retta. Sappiamo anche che il termine noto (p in questo caso) rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta incontra l’asse y.

Ne deduciamo che se p = 0 la retta incontra l’asse y nel punto 0 del piano cartesiano, è dunque una retta che passa per l’origine degli assi.

Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di equazione y = + 4x (colore rosso)

Completiamo la tabella dei valori

x	0	+1
y	0	+4

Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di equazione y = - 3x (colore blu)

Completiamo la tabella dei valori

x	0	+1
y	0	-3

Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di equazione y = - 1/2 x (colore verde)

Completiamo la tabella dei valori

x	0	+1
y	0	- 1/2

Vediamo che si tratta di rette tutte passanti per l’origine degli assi. Possiamo quindi dire che l’equazione di una retta passante per l’origine degli assi è un’equazione del tipo y = mx

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Individuiamo ora sul piano cartesiano i punti  A(- 2; + 3),  B(+ 1; +3)      C(+ 3; +3)

Sappiamo già che questi punti, avendo la stessa ordinata (+3), appartengono tutti ad una stessa retta r parallela all’asse x, distante 3 u dall’asse x.

Individuiamo adesso sul piano cartesiano i punti  D(- 2; - 2),    E(+ 3; - 2)      F(+ 4; - 2)

Anche questi punti, avendo la stessa ordinata (- 2), appartengono tutti ad una stessa retta s parallela  all’asse x.

Possiamo vedere che la retta r è formata da tutti i punti con ordinata uguale a + 3, quindi l’equazione della retta r parallela all’asse x è y = +3.

Possiamo anche  vedere che la retta s è formata da tutti i punti con ordinata uguale a - 2, quindi l’equazione della retta s parallela all’asse x è y = - 2.

Possiamo quindi concludere affermando  che l’equazione di una retta parallela all’asse x è un’equazione del tipo y = m (con m che indica qualsiasi numero relativo)

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Individuiamo sul piano cartesiano i punti  A(+ 4; + 3), B(+ 4; + 1)     C(+ 4; - 3)

Sappiamo già che questi punti, avendo la stessa ascissa (+4), appartengono tutti ad una stessa retta r parallela all’asse y, distante 4 u dall’asse y.

Individuiamo sul piano cartesiano i punti  D(- 3; + 3),  E(- 3; - 2)        F(- 3; - 4)

Anche questi punti, avendo la stessa ascissa (- 3), appartengono tutti ad una stessa retta s parallela  all’asse y.

Possiamo vedere che la retta r è formata da tutti i punti con ascissa uguale a + 4, quindi l’equazione della retta r parallela all’asse y è x = + 4.

Possiamo anche  vedere che la retta s è formata da tutti i punti con ascissa uguale a - 3, quindi l’equazione della retta s parallela all’asse y è x = - 3.

Possiamo quindi concludere affermando  che l’equazione di una retta parallela all’asse y è un’equazione del tipo x = m (con m che indica qualsiasi numero relativo).

Rette parallele

Rappresentiamo in un piano cartesiano le due rette r e s.

La retta r ha l’equazione y = 3x – 2 per cui avremo

x	0	+ 1
y	- 2	+ 1

La retta s ha l’equazione y = 3x + 2 per cui avremo

x	0	+ 1
y	+ 2	+ 5

Le due rette sono parallele; se osserviamo le due equazioni ci accorgiamo che è uguale il coefficiente angolare (+3) e, di conseguenza, le due rette devono avere la medesima inclinazione rispetto all’asse x e quindi essere parallele.

Possiamo dunque affermare che due rette di equazione y = mx + p ed y = m’x + p’ (con m e p che indicano qualsiasi numero relativo) sono parallele solo se m = m’, cioè se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Rette perpendicolari

Rappresentiamo in un piano cartesiano le due rette r e s.

La retta r ha l’equazione y = - 4x  per cui avremo

x	0	+ 1
y	0	- 4

La retta s ha l’equazione y = + 1/4x  per cui avremo

x	0	+ 1
y	0	+ 1/4

Le due rette sono perpendicolari; se osserviamo le due equazioni ci accorgiamo che i coefficienti angolari sono opposti ed inversi.

Rappresentiamo ora in un piano cartesiano le due rette a e b.

La retta a ha l’equazione y = + 2x - 1  per cui avremo

x	0	+ 1
y	-1	+1

La retta b ha l’equazione y = - 1/2x + 2 per cui avremo

x	0	+ 1
y	+2	+3/2

Anche in questo caso le due rette sono perpendicolari; se osserviamo le due equazioni ci accorgiamo che anche stavolta i coefficienti angolari sono opposti ed inversi.

Possiamo dunque affermare che due rette di equazione y = mx + p ed y = m’x + p’ (con m e p che indicano qualsiasi numero relativo) sono perpendicolari solo se i coefficienti angolari sono uno l’opposto e l’inverso dell’altro.

EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

In un piano cartesiano rappresentiamo i punti A (+2; + 3) e B (+5; + 2) e la retta r che li unisce. 

L’equazione della retta r è data dall’equazione 

in cui possiamo vedere che il numeratore della prima frazione è costituito dalla differenza fra y e l’ordinata del punto A, il denominatore  dalla differenza tra l’ordinata del punto B e quella del punto A; nella seconda frazione il numeratore è dato dalla differenza tra x e l’ascissa del punto A, il denominatore dalla differenza tra l’ascissa del punto B e quella del punto A. Generalizzando possiamo affermare che l’equazione di una retta passante per due punti A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂) è data dalla seguente formula:

Vediamo un altro esempio:

Scrivere l’equazione della retta r passante per i punti A(2; 1) e B(-1; 2) 

 

ESERCIZI

·      Per ogni retta di cui è data l’equazione, indica se è parallela all’asse x o all’asse y.

y = - 4             x = 5                y = 1/3             x = - 2

·      Indica quali, fra le seguenti rette, sono tra loro parallele

y = - ¼ x + 5              y = ¼ x + 5                y = - ¼ x – 2/3            y = 4x – 1/5

·      Indica quali, fra le seguenti rette, sono tra loro perpendicolari

y = 4x – 1/3                y = - 4x – 3                 y = - 1/4x + 3             y = 1/4x + 1/3

·      Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(1; 2) e B (2 ; 3) e rappresentala nel piano cartesiano

·      Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A( 2; 2) e B ( 3 ; 3) e rappresentala nel piano cartesiano

·      Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A( - 1; 0) e B ( 1 ; - 1) e rappresentala nel piano cartesiano. In quale punto incontra l’asse x? E l’asse y?

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