martedì 27 settembre 2016

Superficie e volume del tronco di cono

Consideriamo un cono tagliato con un piano parallelo al piano della base: si ottengono due solidi, un cono ed un tronco di cono.
Possiamo definire il tronco di cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.
Il lato attorno a cui ruota il trapezio è l’asse di rotazione e l’altezza del tronco di cono, il lato obliquo è la generatrice e viene detto apotema del tronco di cono, le due basi del trapezio sono i raggi  della base maggiore e della base minore del tronco di cono.

Superficie laterale

La superficie laterale del tronco di cono è una parte di corona circolare equivalente alla superficie di un trapezio che ha come basi le due circonferenze di base del tronco e come altezza l’apotema del tronco.
Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un tronco di cono si calcola sommando le due circonferenze di base e moltiplicando il totale ottenuto per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

Sl = (C + C’)  . a)/2
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C + C’ =  Sl .2 /a       a = Sl .2 /C + C’  

Superficie totale
L’area della superficie totale di un tronco di cono si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.
St = Sl + Ab + Ab’
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St – (Ab + Ab’)                    (Ab + Ab’ ) = St – Sl

Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un tronco di cono è equivalente ad un tronco di piramide con basi equivalenti ed altezze congruenti: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del tronco di piramide.
Siccome Ab= πr21 e Ab’= πr22

ESERCIZI
·         Un tronco di cono ha i raggi lunghi rispettivamente 20 cm e 10 cm e l’altezza lunga 24 cm. Calcola l’area della superficie laterale.

·         Un tronco di cono ha i due raggi lunghi rispettivamente 22 cm e 16 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è 1348 π cm2, calcola la misura dell’apotema.

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venerdì 10 giugno 2016

Superficie e volume del cono

Possiamo ottenere il cono dalla rotazione di 360° di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Possiamo quindi definire il cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Il lato attorno a cui ruota il triangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cono, l’ipotenusa è la generatrice e viene detta apotema del cono, l’altro cateto è il raggio del cerchio di base del cono.
Se l’apotema del cono è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cono si dice equilatero.

Superficie laterale


La superficie laterale del cono equivale alla superficie di un settore circolare il cui raggio è congruente all’apotema mentre il suo arco è congruente alla circonferenza di base del cono.
Ora, noi sappiamo (mi riferisco al post http://matemedie.blogspot.it/2014/12/area-del-cerchio-e-delle-sue-parti.html)  che l’area di un settore circolare  si può calcolare moltiplicando la lunghezza del suo arco per la lunghezza del raggio e dividendo per due.
Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cono si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

Sl = (C  . a)/2 oppure Sl = πra
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = Sl .2 /a       a = Sl .2 /C  oppure a = Sl / πr         r =  Sl / πa

Superficie totale
L’area della superficie totale di un cono si otterrà sommando l’area di base all’area della superficie laterale.
St = Sl + Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St - Ab                    Ab = St – Sl

Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un cono è equivalente al terzo di un cilindro con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del cilindro e dividendo per 3.
Possiamo dunque stabilire che il volume di un cono di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo per 3.
V = (Ab . h)/ 3 oppure V = πr2h/3
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Ab = V  . 3 /h                  h = V  . 3 / Ab oppure V  . 3 / πr2



ESERCIZI

  • Un cono ha la circonferenza di base lunga 113,04 cm e l’area della superficie totale di 2712,96 cm2. Calcola la lunghezza dell’apotema e dell’altezza. (approssima π a 3,14)

  • In un cono l’apotema misura 50 cm e l’area di base è 1600π cm2. Calcola l’area della superficie totale e il volume del cono.
  • Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono che ha come base la base del cilindro. L’area della superficie del solido è di 1140π m2. Sappiamo che il raggio di base è lungo 10 m e che l’area della superficie laterale del cilindro  è tripla di quella laterale del cono. Calcola il volume del solido.
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giovedì 12 maggio 2016

Superficie e volume del cilindro

Ricordate che possiamo ottenere alcuni solidi a superficie curva attraverso la rotazione di una figura piana attorno ad un suo lato?

Ad esempio possiamo ottenere il cilindro dalla rotazione di 360° di un rettangolo attorno ad un suo lato.

Possiamo quindi definire il cilindro come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato. Il lato attorno a cui ruota il rettangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cilindro, il lato parallelo è la generatrice mentre gli altri due lati del rettangolo sono i raggi dei due cerchi di base del cilindro.

Se l’altezza del cilindro è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cilindro si dice equilatero.

Superficie laterale

Consideriamo lo sviluppo di un cilindro.
Notiamo che la superficie laterale equivale alla superficie di un rettangolo avente come base la circonferenza del cilindro rettificata e per altezza la stessa altezza del cilindro.
Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cilindro si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza.

Sl = C  . h
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = Sl /h       h = Sl /C       
Superficie totale
E’ evidente che l’area della superficie totale si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.
St = Sl + 2Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Sl = St - 2Ab                    Ab = (St – Sl)/2
Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un cilindro è equivalente ad un prisma con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cilindro si può calcolare usando la stessa formula del prisma.
Possiamo dunque stabilire che il volume di un cilindro di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.
V = (Ab . h)
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

Ab = V /h                  h = V / Ab

ESERCIZI
·         L’altezza ed il diametro di base di un cilindro misurano rispettivamente 15 cm e 12 cm. Calcola l’area della superficie laterale, totale ed il volume del solido.
·         Un cilindro ha il raggio di 6 cm e l’altezza i 5/2 del raggio. Calcola l’area della superficie laterale ed il volume del cilindro.
·         Un cilindro ha il volume di 972 π cm3 mentre l’altezza è lunga 12 cm. Calcola l’area della superficie totale.
·         Un cilindro si ottiene dalla rotazione completa di un rettangolo attorno al suo lato maggiore. Sapendo che una dimensione è i 5/3 dell’altra e che il perimetro del rettangolo è di 64 cm, calcola l’area della superficie totale ed il volume del cilindro.
·         Un pozzo cilindrico ha l’area della superficie laterale interna di 170,816 m2 e una profondità di 8 m. L’acqua in esso contenuta raggiunge un livello di 5 m dal fondo. Calcola quanti litri d’acqua contiene il pozzo. (approssima π a 3,14)
·         Un solido è composto da un cubo sormontato da un cilindro la cui base è inscritta nella faccia superiore del cubo. Il volume del solido è 763,2 cm3 mentre lo spigolo del cubo misura 8 cm. Calcola la misura dell’altezza del cilindro e l’area della superficie del solido. (approssima π a 3,14)


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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca