sabato 11 febbraio 2012

Scomposizione in fattori primi

Un numero non primo si dice composto: ad esempio 15 è un numero composto.
Ogni numero composto può essere scritto come un prodotto di numeri primi attraverso un’operazione detta fattorizzazione o scomposizione in fattori primi.
Ad esempio il numero composto 15 può essere scritto anche come prodotto di 3 x 5.
Come possiamo ottenere la fattorizzazione di un qualunque numero, ad esempio 1400?

-         Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.
-         Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile il numero di partenza; nel nostro caso 1400 è divisibile per 2; scriviamo perciò 2 a destra di 1400
-         Scriviamo il quoziente 700 sotto a 1400 e procediamo: 700 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 350
-         350 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 175
-         175 non è divisibile per 2, non è divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35
-         35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7
-         7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1
La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 1400 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 23 x 52 x 7

Vediamo un altro esempio, scomponendo in fattori primi 525

-        Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.
-        Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile
il numero di partenza; nel nostro caso 525 è divisibile per 3; scriviamo perciò 3 a destra di 525
-         Scriviamo il quoziente 175 sotto a 525 e procediamo: 175 non è più divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35
-         35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7
-         7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1
La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 525 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 23 x 52 x 7
Altri esempi di scomposizione:
 
Possiamo usare la fattorizzazione per scoprire il cosiddetto criterio generale di divisibilità.
Per sapere se due numeri qualsiasi, ad esempio 24570 e 455, sono divisibili, dobbiamo scomporre entrambi in fattori primi
Abbiamo ottenuto che
24570 = 2 x 33 x 5 x 7 x 13
455 = 5 x 7 x 13
Possiamo dire che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione del dividendo troviamo tutti i fattori primi del divisore, con esponente maggiore o uguale (criterio generale di divisibilità).  Nel nostro caso i due numeri sono divisibili, perché tra i fattori primi del dividendo ci sono tutti i fattori primi del divisore (5, 7 e 13) con ugual esponente.
Se i due numeri sono divisibili possiamo trovare il quoziente senza eseguire la divisione. Il quoziente sarà dato  dal prodotto di tutti i fattori del dividendo, mettendo come esponente la differenza tra gli esponenti del dividendo e del divisore.
Pertanto il quoziente sarà
Applichiamo lo stesso procedimento per controllare se  4356 e 198 sono divisibili

I due numeri sono divisibili perché tra i fattori del dividendo ci sono tutti i fattori del divisore 2, 3, 11 con esponente maggiore o uguale. Il quoziente sarà
ESERCIZI

·        Scomponi in fattori primi: 245 – 840 – 584 - 6130
·        Applica il criterio generale di divisibilità e, se la divisione è esatta, calcolane il quoziente
756 e 63
7007 e 539
41503 e 539
3245 e 65

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

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DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca