Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

sabato 11 febbraio 2012

Scomposizione in fattori primi

Un numero non primo si dice composto: ad esempio 15 è un numero composto.
Ogni numero composto può essere scritto come un prodotto di numeri primi attraverso un’operazione detta fattorizzazione o scomposizione in fattori primi.
Ad esempio il numero composto 15 può essere scritto anche come prodotto di 3 x 5.
Come possiamo ottenere la fattorizzazione di un qualunque numero, ad esempio 1400?

-         Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.
-         Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile il numero di partenza; nel nostro caso 1400 è divisibile per 2; scriviamo perciò 2 a destra di 1400
-         Scriviamo il quoziente 700 sotto a 1400 e procediamo: 700 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 350
-         350 è ancora divisibile per 2 ed il quoziente è 175
-         175 non è divisibile per 2, non è divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35
-         35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7
-         7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1
La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 1400 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 23 x 52 x 7

Vediamo un altro esempio, scomponendo in fattori primi 525

-        Scriviamo il numero tracciando a destra dello stesso una riga verticale.
-        Aiutandoci con i criteri di divisibilità dobbiamo cercare il più piccolo numero primo per cui è divisibile
il numero di partenza; nel nostro caso 525 è divisibile per 3; scriviamo perciò 3 a destra di 525
-         Scriviamo il quoziente 175 sotto a 525 e procediamo: 175 non è più divisibile per 3, è divisibile per 5 ed il quoziente è 35
-         35 è ancora divisibile per 5 ed il quoziente è 7
-         7 è un numero primo ed è divisibile solo per se stesso ed il quoziente è 1
La scomposizione è terminata e possiamo scrivere che 525 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 7, cioè 1400 = 23 x 52 x 7
Altri esempi di scomposizione:
 
Possiamo usare la fattorizzazione per scoprire il cosiddetto criterio generale di divisibilità.
Per sapere se due numeri qualsiasi, ad esempio 24570 e 455, sono divisibili, dobbiamo scomporre entrambi in fattori primi
Abbiamo ottenuto che
24570 = 2 x 33 x 5 x 7 x 13
455 = 5 x 7 x 13
Possiamo dire che i due numeri sono divisibili se nella scomposizione del dividendo troviamo tutti i fattori primi del divisore, con esponente maggiore o uguale (criterio generale di divisibilità).  Nel nostro caso i due numeri sono divisibili, perché tra i fattori primi del dividendo ci sono tutti i fattori primi del divisore (5, 7 e 13) con ugual esponente.
Se i due numeri sono divisibili possiamo trovare il quoziente senza eseguire la divisione. Il quoziente sarà dato  dal prodotto di tutti i fattori del dividendo, mettendo come esponente la differenza tra gli esponenti del dividendo e del divisore.
Pertanto il quoziente sarà
Applichiamo lo stesso procedimento per controllare se  4356 e 198 sono divisibili

I due numeri sono divisibili perché tra i fattori del dividendo ci sono tutti i fattori del divisore 2, 3, 11 con esponente maggiore o uguale. Il quoziente sarà
ESERCIZI

·        Scomponi in fattori primi: 245 – 840 – 584 - 6130
·        Applica il criterio generale di divisibilità e, se la divisione è esatta, calcolane il quoziente
756 e 63
7007 e 539
41503 e 539
3245 e 65

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca