Vediamo quali sono le situazioni che possiamo incontrare
calcolando il valore di una frazione, cioè il quoziente tra il numeratore ed il
denominatore.
Vediamo il caso in cui la frazione è apparente.
14/7 = 2 40/5
= 8
Se la frazione è apparente si trasformerà in un numero
intero.
Consideriamo ora le frazioni decimali.
32/100 = 0,32 53/10
= 5,3 165/1000 = 0,165
Se la frazione è decimale si trasforma in un numero decimale
limitato, perché ha un numero di
cifre decimali limitato.
Consideriamo ora frazioni non decimali, cioè frazioni ordinarie con denominatore
diverso da 10 o da una potenza di 10
3/8 = 0,375 7/20
= 0,35 135/50
= 2,7
4/11 = 0,36363636……. 8/15
= 0,533333333….. 6/13 =
0,461538461538…….
Possiamo osservare come il primo gruppo di frazioni
ordinarie si trasformi in numeri decimali limitati mentre il secondo gruppo dà
origine a numeri decimali illimitati
perché la divisione tra numeratore e denominatore, anche se proseguita, non
avrà mai resto zero, quindi il numero delle cifre decimali del quoziente è
illimitato.
Come possiamo sapere se una frazione ordinaria darà origine
ad un numero decimale limitato o illimitato? E’ semplice, basta scomporre in
numeri primi il suo denominatore.
Facciamolo per il primo gruppo di frazioni:
8 = 23 20 = 22 x 5 50 = 2 x 52
Scomponiamo ora il denominatore del secondo gruppo di
frazioni:
11 = 11 15 =
3 x 5 13 = 13
Una frazione
ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato solo nei
casi in cui la scomposizione in fattori primi del denominatore contenga
esclusivamente il fattore 2, il fattore 5 o entrambi i fattori.
Bene, centriamo ora la nostra attenzione sui numeri decimali
illimitati.
Consideriamo queste frazioni e calcoliamone il valore: 5/9,
10/3, 3/11, 2/27, 5/12, 11/45, 11/12
5/9 = 0,55555……
10/3 = 3,333333…..
3/11 = 0,27272727……
2/27 = 0,074074074……
5/12 = 0,41666666….
11/45 = 0,24444444….
11/12 = 0,91666666….
Vediamo che tutte queste frazioni si trasformano in numeri
decimali illimitati. Consideriamo le prime quattro frazioni.
5/9 = 0,55555……
10/3 = 3,333333…..
3/11 = 0,27272727……
2/27 = 0,074074074……
Possiamo vedere come, subito dopo la virgola, una
cifra o un gruppo di cifre si ripete all’infinito: la cifra o il gruppo di
cifre che si ripete si chiama periodo
ed i numeri sono detti numeri decimali
illimitati periodici semplici. Per indicare il periodo si mette una
lineetta sopra la cifra o il gruppo di cifre che si ripete.
Una frazione
irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice
se nella scomposizione in fattori primi del denominatore non è presente né il
fattore 2 né il fattore 5.
Consideriamo ora le altre tre frazioni.
5/12 = 0,41666666….
11/45 = 0,24444444….
11/12 = 0,91666666….
Vediamo come, in questi casi, il periodo non inizi subito
dopo la virgola in quanto tra la virgola ed il periodo è presente una cifra
o un gruppo di cifre. Questi numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici misti.
La cifra o il gruppo di cifre tra la virgola ed il periodo
si chiama antiperiodo e si scrive in
questo modo
Una frazione
irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se
nella scomposizione in fattori primi del denominatore è presente il fattore 2 o il fattore 5 o entrambi oltre ad altri
fattori primi.
Possiamo quindi rappresentare così l’insieme Q+
Possiamo sintetizzare così ciò che si ottiene nelle varie
possibilità di trasformazione di una frazione in numero:
La frazione è apparente
|
Numero naturale
|
La frazione è ordinaria
|
|
Il denominatore contiene solo i fattori 2, 5 o entrambi
|
Numero decimale limitato
|
Il denominatore non contiene i fattori 2 e 5
|
Numero decimale periodico semplice
|
Il denominatore contiene i fattori 2, 5 o entrambi insieme
ad altri fattori
|
Numero decimale periodico misto
|
ESERCIZI
·
Quando un numero decimale si può definire
limitato?
·
Quando una frazione ordinaria irriducibile può
essere trasformata in un numero decimale limitato?
·
Quando un numero si dice decimale illimitato
periodico semplice?
·
Quando un numero si dice decimale illimitato
periodico misto?
·
Per ogni numero indica se è un numero decimale
limitato, illimitato periodico semplice o illimitato periodico misto.
·
Individua, tra le seguenti frazioni, quali
possono essere trasformate in numeri decimali limitati ed esegui la
trasformazione
4/21, 11/25, 51/50, 13/20,
18/100, 27/70, 19/30, 2/5
·
Individua, tra le seguenti frazioni, quali
possono essere trasformate in numeri decimali illimitati periodici semplici ed
esegui la trasformazione
22/15; 5/9; 6/11; 11/18; 32/3;
25/12; 25/9; 7/100
·
Individua, tra le seguenti frazioni, quali
possono essere trasformate in numeri decimali illimitati periodici misti ed
esegui la trasformazione
5/8; 5/12; 13/45; 6/5; 13/6; 7/3;
5/18; 11/12
