sabato 24 settembre 2011

Operazioni tra insiemi: la differenza

Oltre all’unione ed all’intersezione, altra operazione tra gli insiemi è la differenza.
Vediamola tra insiemi intersecati. Siano
A = {rosso; verde; giallo; rosa}
B = {nero; verde; blu; giallo}
Ci accorgiamo che ci sono elementi in comune tra i due insiemi, pertanto possiamo capire meglio la differenza usando la rappresentazione grafica.

Ci sono elementi di A che non appartengono a B e questa è la differenza tra A e B e per indicarla usiamo il simbolo – oppure \. Possiamo dire:
A – B = D oppure A\B = D oppure ancora
A\B = {rosso; rosa}
Definiamo quindi la differenza tra due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B. La differenza tra due insiemi B e A è l’insieme formato dagli elementi di B che non appartengono ad A. Nel nostro caso: B\A = {nero; blu}

Consideriamo ora due insiemi disgiunti.
A = {1; 3; 5; 7}
B = {2; 4; 6}

A\B = {1; 3; 5; 7}
B\A = {2; 4; 6}

Infine vediamo il caso in cui un insieme è incluso nell’altro.
A = {Mario; Agnese; Luca; Alice; Teo}
B = { Agnese; Alice}

A\B = {Mario; Luca; Teo}. Essendo B un sottoinsieme proprio di A, in questo caso l’insieme differenza può chiamarsi anche complementare di B rispetto ad A.
B\A = {Æ} (infatti non ci sono elementi di B che non appartengano ad A)

ESERCIZI

1.      Data questa rappresentazione grafica

Scrivi per elencazione gli insiemi
A = {
B = {
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {

2.      Considera questi due insiemi disgiunti
A = {5; 10; 15; 20; 25}
B = {3; 6; 9}
Scrivi per elencazione gli insiemi
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {

3.      Sia
A = {a; b; c; d; e}
B = {a; e}
Scrivi per elencazione gli insiemi
A Ç B = {
A È B = {
A \ B = {
B \ A = {


domenica 18 settembre 2011

Operazioni con i numeri relativi: l'addizione

Per meglio comprendere il meccanismo delle addizioni con numeri relativi ci aiuteremo con alcuni esempi e con una retta orientata su cui i numeri positivi sono a destra ed i numeri negativi sono a sinistra dello zero.
I primi due esempi si riferiscono a numeri concordi, gli altri a numeri discordi.

(+ 3) + (+ 4)
Scriviamo togliendo le parentesi:
+ 3 + 4 = 7
Il totale è dato dalla somma dei valori assoluti ed il segno sarà positivo
………………………………………………………………………………………………………
(- 3) + (- 4)
Scriviamo togliendo le parentesi:
- 3 – 4 = - 7
Il totale è dato dalla somma dei valori assoluti ed il segno sarà negativo
………………………………………………………………………………………………………
(+ 4) + (- 5)
Scriviamo togliendo le parentesi:
+ 4 – 5 = - 1
Il segno sarà quello del numero con maggiore valore assoluto ed il totale è dato dalla differenza tra i valori assoluti.
………………………………………………………………………………………………………
(- 6) + (+ 4)
Scriviamo togliendo le parentesi:
- 6 + 4 = - 2
Il segno sarà quello del numero con maggiore valore assoluto ed il totale è dato dalla differenza tra i valori assoluti.
………………………………………………………………………………………………………
(+ 5) + (- 3)
Scriviamo togliendo le parentesi:
+ 5 – 3 = 2
Il segno sarà quello del numero con maggiore valore assoluto ed il totale è dato dalla differenza tra i valori assoluti.
Nel caso di addizioni con numeri razionali le regole sono le medesime.





ESERCIZI

1.      Quali tra le seguenti addizioni sono errate? Scrivi la correzione
·        (+ 7) + (+ 5) = + 12
·        (- 5) + (- 4) = - 9
·        (- 9) + (+ 16) = + 25
·        (+ 7) + (- 3) = + 10
2.      Esegui queste addizioni
·        ( - 5) + (+ 6) + (+ 8)
·        ( - 6) + (- 8) + (+ 10)
·        ( + 6) + (+ 5) + (- 8)


  





















mercoledì 14 settembre 2011

Gli angoli

Ora che le conosciamo, immaginiamo due semirette con lo stesso punto di origine, non appartenenti alla stessa retta ma giacenti sullo stesso piano. Così:

Queste semirette dividono il piano in due parti, che prendono il nome di angoli.
L’angolo è dunque una delle due parti di piano determinate da due semirette con la stessa origine e giacenti sullo stesso piano.
Le due semirette prendono il nome di lati, mentre il punto di origine si chiama vertice.

Gli angoli si dicono convessi se non contengono il prolungamento dei lati e concavi se, invece, li contengono.




Se l’angolo ha per lati due segmenti consecutivi, lo indicheremo in questo modo

BÂC

oppure in questo



AČB

L’angolo ha una sola dimensione: l’ampiezza (non ha spessore, né lunghezza né larghezza) e, oltre ai modi che abbiamo visto sopra, essendo parte di piano può anche essere indicato con una lettera dell’alfabeto greco.
Non dovrebbe essere difficile ricordare che un angolo, secondo l’ampiezza, può essere:
·        Giro = 360° (i lati sono semirette coincidenti)
·        Piatto = 180° (i lati sono semirette adiacenti)
·        Retto = 90° (i lati sono semirette tra loro perpendicolari)
·        Acuto = minore di 90°
·        Ottuso = maggiore di 90°

Due angoli inoltre sono:
·        Consecutivi se hanno in comune un vertice ed un lato

·        Adiacenti se sono consecutivi ed i due lati non comuni appartengono alla stessa retta

·        Opposti al vertice se i loro lati sono semirette opposte



ESERCIZI

1.      Completa:
L’angolo è una delle due parti di ………….. determinata da due …………………. aventi la stessa origine e giacenti sullo stesso …………… . Il punto di origine si dice ……………… e le due semirette si dicono ……………… .

2.      Indica qual è il vertice e quali i lati di questo angolo. Poi indica qual è l’angolo convesso e qual è l’angolo concavo.

3.      Indica se questi angoli sono convessi o concavi


4.      Indica per ogni figura se i due angoli sono consecutivi, adiacenti o opposti al vertice


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venerdì 9 settembre 2011

Operazioni sugli insiemi: unione ed intersezione

Avendo due insiemi, possiamo effettuare delle operazioni su di essi. Cominciamo a vederne due e, precisamente, l’unione e l’intersezione.
Teniamo conto che, se consideriamo due insiemi A e B non vuoti, avremo una di queste situazioni:

CASO 1: I due insiemi sono disgiunti, cioè non hanno elementi in comune.



CASO 2: I due insiemi sono intersecati, ci sono cioè elementi che appartengono sia all’insieme A che all’insieme B.



CASO 3: L’insieme B è incluso nell’insieme A, è un suo sottoinsieme proprio.

Per ognuno di questi tre casi vedremo ora le operazioni di unione e di intersezione.

Teniamo conto che l’unione di due insiemi A e B è l’insieme formato da tutti gli elementi di A e di B, considerati una sola volta nel caso A e B abbiano elementi in comune. L’unione si indica con il simbolo È.

L’intersezione di due insiemi A e B è invece l’insieme formato dagli elementi in comune di A e B. L’intersezione si indica con il simbolo Ç.

1° CASO.
Consideriamo l’insieme A = {a/a è una vocale} e l’insieme B = {b/b è una delle prime quattro consonanti dell’alfabeto italiano}.
Per elencazione:
A = {a; e; i; o ; u}
B = {b; c; d; f }
I due insiemi A e B sono disgiunti, non ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {a; e; i; o ; u; b; c; d; f} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B.
AÇB = Æ - L’intersezione è un insieme vuoto perché non ci sono elementi in comune.


2° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia}
B = {Spagna; Francia; Italia; Tunisia; Grecia; Egitto}
I due insiemi A e B sono intersecati perché ci sono elementi in comune.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = { Francia; Germania; Italia; Gran Bretagna; Svezia; Polonia; Spagna; Tunisia; Grecia; Egitto} - L’unione è formata da tutti gli elementi di A e di B, considerando una volta sola gli elementi comuni ad A e B.
AÇB = { Francia; Italia}  - L’intersezione è l’insieme con gli elementi comuni Francia ed Italia.

3° CASO.
Consideriamo per elencazione:
A = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi}
B = {Pirlo; Chiellini; Buffon}
L’insieme B è incluso nell’insieme A perché è un suo sottoinsieme proprio.
Vediamo graficamente l’unione e l’intersezione dei due insiemi

Vediamo ora per elencazione l’unione e l’intersezione dei due insiemi:
AÈB = {Pirlo; Chiellini; Pazzini; Cassano; Buffon; De Rossi} - L’unione è formata dall’insieme A perché tutti gli elementi di B appartengono ad A
AÇB = {Pirlo; Chiellini; Buffon}- L’intersezione è l’insieme B perché sono gli elementi di B in comune con gli elementi di A.

ESERCIZI

1.      Qual è il significato di questi simboli?
CÈD
CÇD

2.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una parola che inizia con la lettera m}
B = {b/b è una parola che finisce con la lettera a}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

3.      Considera il seguente diagramma di Eulero – Venn

A = {a/a è una lettera della parola “armadio”}
B = {b/b è una lettera della parola “radio”}
Scrivi per elencazione:
A = {
B = {
AÈB = {
AÇB = {

4.      Dati questi due insiemi:

A = {mela; pera; albicocca}
B = {pesca; prugna
Rappresenta per elencazione e graficamente:
AÈB
AÇB

sabato 3 settembre 2011

Semirette e segmenti

Che cos’è una semiretta?
Per fartene un’idea immagina una strada che non ha inizio né fine, una strada infinita. Noi ci troviamo su un punto di questa strada e possiamo quindi decidere di percorrerla in un verso o nell’altro: in ognuno dei due casi partiamo dal punto stabilito e possiamo proseguire all’infinito.
Nella realtà concreta però non esiste la semiretta, è un’astrazione geometrica.
Prendiamo una retta r, stabiliamo su questa un punto O.


Il punto O divide la retta in due parti r1 e r2, ciascuna delle quali ha origine dal punto O e continua all’infinito. Queste due parti sono le semirette. Possiamo quindi dire che un punto su una retta individua due semirette, che possiamo così definire: “la semiretta è una parte della retta che ha un punto di origine ed è infinita”.

Consideriamo ora la stessa strada  immaginaria ed infinita di prima. Su questa strada noi però possiamo muoverci solo tra due punti, quindi il nostro percorso ha un inizio ed una fine.
Vediamo la situazione geometrica con una rappresentazione grafica:

Notiamo che, individuando 2 punti sulla retta, questa resta divisa in 3 parti, le semirette r1 e r2 che già conosciamo e la parte di retta compresa tra i punti A e B. Questa parte di retta si chiama segmento e si indica

Per ragioni di tastiera d’ora in avanti indicheremo i segmenti senza il trattino sopra, solo col nome dei punti che lo delimitano: segmento AB. Possiamo quindi definire il segmento: “è una parte di retta delimitata da 2 punti. Ha un inizio ed una fine.”

Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno in comune solo un punto.

Due segmenti sono invece adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, appartengono alla stessa retta.


Il confronto di segmenti si opera mediante sovrapposizione, facendo coincidere almeno un estremo.
Dal confronto possono risultare queste situazioni:
·        I due segmenti hanno la stessa lunghezza: sono congruenti

Possiamo dire che AB @ CD (il segmento AB è congruente al segmento CD
Il simbolo º significa “coincide”
Se due segmenti non sono congruenti, uno sarà maggiore e l’altro minore

In questo caso AB > CD e quindi CD < AB

Proviamo ora a trovare il segmento somma, disegnando entrambi i segmenti in modo che siano adiacenti.

Il segmento somma è il segmento AD. Infatti AB + CD = AD

Troviamo infine il segmento differenza, sovrapponendo i due segmenti in modo che coincida un estremo.

Il segmento differenza sarà il segmento DB. Infatti AB – CD = DB

ESERCIZI

1.      Come sono tra loro questi segmenti?
2.      Per quale dei due esempi è vera la frase: AB e CD sono segmenti adiacenti

3.      Prova  a dare una definizione di semiretta
4.      Per due punti quanti segmenti possono passare?
5.      Osserva e confronta

AB …….. BC
AC …….. AB

Quanti segmenti vedi? Colorali di verde.
Quante semirette vedi? Colorale di rosso
6.     

Quale affermazione è vera?
AB > CD
AB @ CD
AB < CD


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca