Metodi di risoluzione dei problemi: il metodo grafico

Ci sono delle fasi imprescindibili nella risoluzione di un problema di tipo matematico: la lettura e l’analisi del testo, l’individuazione dei dati conosciuti e delle incognite, la scelta delle tecniche risolutive.

Ed è proprio la fase risolutiva che ci permette la possibilità di usare diverse strategie e tecniche, a seconda della natura del problema. Oggi analizzeremo una di queste tecniche: il metodo di risoluzione grafico. Si tratta di rappresentare graficamente i dati conosciuti, in modo da far emergere visivamente le relazioni tra di essi e scoprire più facilmente la soluzione.

Vediamo alcuni esempi della sua applicazione.

Su una spiaggia ci sono 130 ombrelloni in tutto;  gli ombrelloni aperti sono 26 in più di quelli chiusi. Quanti sono gli ombrelloni aperti e quanti quelli chiusi sulla spiaggia?

Indichiamo gli ombrelloni aperti con a e quelli chiusi con c.

DATI

a + c = 130

a = c + 26

INCOGNITE

? a

? c

RISOLUZIONE

Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Sappiamo che la somma del segmento AB e quella del segmento CD è 130.

La differenza fra i due segmenti è 26.

Togliendo dalla somma 130 la differenza 26, troviamo il doppio degli ombrelloni chiusi, per cui sarà sufficiente dividere per 2 per trovare il numero degli ombrelloni chiusi. A questi basterà aggiungere 26 e troveremo il numero degli ombrelloni aperti.

130 – 26 = 104 doppio degli ombrelloni chiusi

104 : 2 = 52 numero degli ombrelloni chiusi

52 + 26 = 78 numero ombrelloni aperti

La signora Anna al supermercato ha comprato pesce, pane e verdura spendendo in tutto € 17,90.

Il pesce è costato € 10,83 più della verdura, la verdura € 0,16 più del pane. Quanto ha speso Anna per il pesce, il pane e la verdura?

Indichiamo il pesce con p, il pane con a e la verdura con v.

DATI

p + a + v = 17,90

p = v + 10,83

v = a + 0,16

INCOGNITE

? p

? a

? v

RISOLUZIONE

Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Sappiamo che la somma dei tre segmenti è 17,90.

Togliendo dalla somma 17,90 prima 10,83 e poi 2 volte 0,16 troviamo il triplo del segmento EF, cioè del pane. Sarà ora sufficiente dividere per 3 per trovare il costo del pane. A questo basterà aggiungere 0,16 e troveremo il costo della verdura ed infine, aggiungendo a quest’ultimo valore 10,83 troveremo il costo del pesce.

17,90 – (10,83 + 0,16 x 2) = 17, 90 – (10,83 + 0,32) = 17,90 – 11,15 = 6,75 triplo del costo del pane

6,75 : 3 = 2,25 costo del pane

2,25 + 0,16 = 2,41 costo della verdura

2,41 + 10,83 = 13,24 costo del pesce

Prima di partire per una gita scolastica il professore sul pullman conta i partecipanti, che risultano essere: 50 tra alunni della IA e IB, 31 tra alunni della IA ed insegnanti e 29 tra alunni della IB ed insegnanti. Quanti sono gli insegnanti, gli alunni della IA e della IB che partecipano alla gita?

Indichiamo con A gli alunni della IA, con B gli alunni della IB e con I gli insegnanti

DATI

A + B = 50

A + I = 31

B + I = 29

INCOGNITE

? A

? B

? I

RISOLUZIONE

Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Dall’esame grafico della situazione ci accorgiamo che sommando 50, 31 e 29 otteniamo il doppio dei partecipanti alla gita: infatti sia gli alunni di IA, sia gli alunni di IB, sia gli insegnanti sono presenti due volte. Dividendo quindi per 2 il totale della somma troveremo il numero reale dei partecipanti, da cui ricavare successivamente le altre incognite.

50 + 31 + 29 = 110

110 : 2 = 55 numero dei partecipanti alla gita

55 – 50 = 5 numero degli insegnanti

55 – 31 = 24 numero alunni IB

55 – 29 = 26 numero alunni IA

ESERCIZI

·    La somma di due numeri è 28 e la loro differenza è 12. Quali sono i due numeri?

·    In una cassetta vi sono mele e pere per un numero complessivo di 65 frutti; le mele sono 19 in più delle pere. Calcola il numero delle mele e delle pere.

·    Ad una gara podistica partecipano complessivamente 280 atleti fra uomini, donne e ragazzi. Le donne sono 20 in più dei ragazzi e gli uomini 60 in più delle donne. Calcola il numero degli uomini, delle donne e dei ragazzi che partecipano alla gita.

·    Marco, Luigi e Alice sono 3 fratelli. Marco e Luigi hanno complessivamente 57 anni; Marco ed Alice 46, Luigi ed Alice 41. Qual è l’età di ognuno dei tre fratelli?

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Problemi con il m.c.m ed il M.C.D.

Le tecniche per calcolare il m.c.m. ed il M.C.D. possono essere molto utili nella risoluzione di problemi, come possiamo vedere dai seguenti esempi.

·    E’ necessario recintare un terreno di forma triangolare con i lati lunghi 42 m, 48 m e 60 m. Per far ciò dovranno essere sistemati dei pali di sostegno della recinzione, tutti alla stessa massima distanza tra loro, facendo in modo che ci sia un palo in ogni vertice.

A quale distanza andranno piantati i pali? Quanti pali occorreranno?

Riflettiamo: i pali dovranno essere distribuiti alla stessa distanza tra loro, quindi occorre cercare un divisore comune tra 42, 48 e 60. Poiché la distanza tra i pali deve essere la massima possibile, dobbiamo cercare il massimo divisore comune, quindi il M.C.D.

Effettuata la scomposizione in fattori primi, abbiamo questa situazione

42 = 2 x 3 x 7

48 = 2⁴ x 3

60 = 2² x 3 x 5

M.C.D.: 2 x 3 = 6

I pali andranno piantati ad una distanza di 6 m l’uno dall’altro.

Poiché il perimetro del triangolo misura 42 + 48 + 60 = 150 m, dividendo questa lunghezza per 6 otterremo il numero di pali necessari

150 : 6 = 25 pali occorrenti.

·    Maria, Luigi e Giuseppe vanno in bicicletta percorrendo varie volte un circuito. Partono tutti e tre dallo stesso punto e nello stesso momento. Maria impiega 12 minuti per ritornare al punto di partenza, Luigi ne impiega 6 e Giuseppe invece ritorna al punto di partenza ogni 9 minuti. Dopo quanti minuti si incontreranno nuovamente tutti insieme al punto di partenza?

Riflettiamo: i minuti che dovranno passare per far sì che i tre si incontrino nuovamente dovranno essere un multiplo di 12, 6 e 9, il minimo comune multiplo.

Effettuata la scomposizione in fattori primi, risulta che:

12 = 2² x 3

6 = 2 x 3

9 = 3²

m.c.m.: 2² x 3² = 36

I tre amici si incontreranno nuovamente al punto di partenza dopo 36 minuti.

ESERCIZI

·    Un agricoltore ha raccolto 150 kg di mele, 110 kg di pere e 200 kg di arance.  Vuole sistemare la frutta raccolta in cassette che abbiano tutte lo stesso peso e che contengano ciascuna lo stesso tipo di frutta. Quale sarà il peso di ogni cassetta? Quante cassette potrà riempire?

 ·    Le signore Anna, Fiorenza e Rosanna iniziano oggi, 18 aprile, ad andare in palestra. Per la prima volta vanno insieme, successivamente Anna potrà andare in palestra ogni 3 giorni, Fiorenza andrà ogni 4 giorni, mentre Rosanna potrà andare solo ogni 6 giorni. Quale sarà la data in cui si troveranno nuovamente insieme in palestra?

·    4 ferrovieri si incontrano, durante i loro viaggi in treno, alla stazione di Milano il 1° settembre. Se ritornano a Milano rispettivamente ogni 3, 5, 10, 6 giorni, dopo quanti giorni si incontreranno nuovamente? Quante volte si incontreranno a Milano in un anno?

 ·    In una biblioteca sono arrivati dei nuovi libri: 60 libri di storia, 45 libri di geografia e 40 libri di scienze. Si decide di sistemarli in parti uguali nel maggior numero possibile di scaffali che contengano ciascuno i tre tipi di libri. Quanti scaffali si dovranno usare? In ogni scaffale quanti libri di storia, geografia e scienze si dovranno mettere?

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