Sistema di numerazione: l'insieme N

Il nostro sistema di numerazione è posizionale perché il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero.

Il nostro sistema di numerazione è decimale perché si raggruppa per dieci, in questo modo:

·        Le cifre da 0 a 9 sono chiamate unità del 1° ordine

·        10 unità del 1° ordine formano una decina (unità del 2° ordine)

·        10 unità del 2° ordine formano un centinaio (unità del 3° ordine)

·        10 unità del 3° ordine formano un migliaio (unità del 4° ordine)

·        10 unità del 4° ordine formano una decina di migliaia (unità del 5° ordine)

·        10 unità del 5° ordine formano un centinaio di migliaia (unità del 6° ordine)

e così via.

Abbiamo quindi vari ordini, che vengono raggruppati per 3 in gruppi, chiamati classi o periodi, per renderne più facile la lettura e la scrittura.

Consideriamo, ad esempio, il numero

13 045 523

e vediamo alcuni modi in cui è possibile indicare il valore di ogni cifra. Possiamo scomporre così:

oppure come somma di prodotti:

3 + 2 x 10 + 5 x 100 + 5 x 1 000 + 4 x 10 000 + 3 x 1 000 000 + 1 x 10 000 000

Possiamo anche usare le potenze del 10 ed effettuare la scomposizione polinomiale:

3 x 10⁰ + 2 x 10¹ + 5 x 10² + 5 x 10³ + 4 x 10⁴ + 3 x 10⁶ + 1 x 10⁷

Finora abbiamo parlato di numeri interi positivi e sappiamo che sono infiniti: questi numeri si chiamano naturali ed appartengono all’insieme N dei numeri naturali che è quindi un insieme ordinato (posso stabilire con certezza quale numero precede o segue un altro) ed infinito che si può rappresentare nei soliti 3 modi:

­       per elencazione            N = {0; 1; 2, 3, …….}

­       per caratteristica          N = {x/x è un numero naturale}

­       graficamente con il diagramma di Eulero - Venn

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Completa

Le unità del 1° ordine sono …………………….

Le unità del 2° ordine sono …………………….

Le unità del 3° ordine sono …………………….

Le unità del 4° ordine sono …………………….

Le unità del 5° ordine sono …………………….

Le unità del 6° ordine sono …………………….

Gli ordini si raggruppano per tre in gruppi chiamati …………………..

2.      Indica il valore di ogni cifra effettuando la scomposizione polinomiale del numero:

7 321 047

3.      Scrivi qual è il numero espresso in forma polinomiale:

• 4 + 8 x 10 + 6 x 100 + 2 x 1 000 + 9 x 10 000 + 2 x 100 000
• 6 x 1 000 + 5 x 10 000 + 1 x 100 000
• 3 + 5 x 10 + 6 x 10 000 + 4 x 100 000
• 9 x 10 000 + 3 x 100 000

4.      Dividi in classi i seguenti numeri e poi scrivili in lettere

3433896

6008472

9107328

6000708

5310801270

5.      Scrivi i numeri formati da:

2 milioni, 8 centinaia, 4 decine e 9 unità

9 decine di migliaia, 6 migliaia, 7 decine

1 decina di migliaia, 5 migliaia, 1 centinaio, 7 decine e 3 unità

12 migliaia, 7 centinaia e 5 unità

28 centinaia, 4 decine e 6 unità

6.      Spiega che cos’è l’insieme N

7.      Scegli qual è l’insieme corretto, se A = {n/n è un numero naturale con n < 10}

• {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9}
• {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9}
• {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10}
• {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10}

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Operazioni tra insiemi: la differenza

Oltre all’unione ed all’intersezione, altra operazione tra gli insiemi è la differenza.

Vediamola tra insiemi intersecati. Siano

A = {rosso; verde; giallo; rosa}

B = {nero; verde; blu; giallo}

Ci accorgiamo che ci sono elementi in comune tra i due insiemi, pertanto possiamo capire meglio la differenza usando la rappresentazione grafica.

Ci sono elementi di A che non appartengono a B e questa è la differenza tra A e B e per indicarla usiamo il simbolo – oppure \. Possiamo dire:

A – B = D oppure A\B = D oppure ancora

A\B = {rosso; rosa}

Definiamo quindi la differenza tra due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B. La differenza tra due insiemi B e A è l’insieme formato dagli elementi di B che non appartengono ad A. Nel nostro caso: B\A = {nero; blu}

Consideriamo ora due insiemi disgiunti.

A = {1; 3; 5; 7}

B = {2; 4; 6}

A\B = {1; 3; 5; 7}

B\A = {2; 4; 6}

Infine vediamo il caso in cui un insieme è incluso nell’altro.

A = {Mario; Agnese; Luca; Alice; Teo}

B = { Agnese; Alice}

A\B = {Mario; Luca; Teo}. Essendo B un sottoinsieme proprio di A, in questo caso l’insieme differenza può chiamarsi anche complementare di B rispetto ad A.

B\A = {Æ} (infatti non ci sono elementi di B che non appartengano ad A)

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Data questa rappresentazione grafica

Scrivi per elencazione gli insiemi

A = {

B = {

A Ç B = {

A È B = {

A \ B = {

B \ A = {

2.      Considera questi due insiemi disgiunti

A = {5; 10; 15; 20; 25}

B = {3; 6; 9}

Scrivi per elencazione gli insiemi

A Ç B = {

A È B = {

A \ B = {

B \ A = {

3.      Sia

A = {a; b; c; d; e}

B = {a; e}

Scrivi per elencazione gli insiemi

A Ç B = {

A È B = {

A \ B = {

B \ A = {

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