Caratteristiche dei triangoli e criteri di congruenza

Consideriamo alcune caratteristiche del triangolo isoscele:

·      Gli angoli alla base sono congruenti

·      L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi alla base coincidono in un unico segmento

·      Ortocentro (O), circocentro (C), baricentro (B) ed incentro (I) sono punti che si trovano su questo unico segmento.

 Vediamo ora le caratteristiche del triangolo equilatero:

·      Ha i tre lati congruenti e gli angoli stessa ampiezza (60°): è quindi un poligono regolare

·      L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi ad un qualunque lato coincidono in un unico segmento

·      Ortocentro (O), circocentro (C), baricentro (B) ed incentro (I) coincidono in un unico punto , detto centro del triangolo equilatero.

Passiamo alle caratteristiche del triangolo rettangolo.

·      Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° ed un angolo è retto, gli altri due angoli sono complementari, la loro somma è cioè 90°

·      Se un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 45° anche l’altro angolo acuto quindi sarà di 45°: il triangolo rettangolo sarà anche isoscele con i due cateti congruenti.

·      Se un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30°, l’altro angolo acuto sarà di 60°: possiamo considerare questo triangolo come la metà di in triangolo equilatero che ha i lati della stessa lunghezza dell’ipotenusa. Nel triangolo equilatero l’altezza BA è anche mediana e bisettrice, quindi A è il punto medio di DC: ne deriva che il cateto AC opposto all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa BC.

Sappiamo che due triangoli sono congruenti se, sovrapponendoli, coincidono perfettamente.

Esistono però dei criteri per riconoscere la congruenza tra triangoli senza la necessità di procedere a sovrapposizioni.

Il I criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.

Il II criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato ed i due angoli ad esso adiacenti.

Il III criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i tre lati.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo rettangolo

I due angoli acuti sono …………………………..

Se un angolo acuto è ampio 45°, l’altro angolo acuto misurerà …….. ° e quindi il triangolo è anche ………………………

Se un angolo acuto è ampio 30°, l’altro angolo acuto misurerà ………. ° ed il cateto opposto all'angolo di 30° ………………………………………………………………………………

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo isoscele

I lati obliqui sono …………………….

Gli angoli alla base sono …………………………..

L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi alla base …………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Ortocentro, circocentro, baricentro ed incentro sono punti che si trovano ……………………

…………………………………………………………………………………………………

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo equilatero

I tre lati sono ………………………….

I tre angoli sono …………………………. e misurano ciascuno ……….. °

E’ un poligono regolare perché ……………………………………………………………

L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi ad un qualunque lato ……………………

…………………………………………………………………………………………………

Ortocentro, circocentro, baricentro ed incentro coincidono ………………………………, detto ………… del triangolo equilatero.

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:

triangolo ABC: AB = 8 cm – BC = 10 cm - angolo in B = 52°

triangolo FGH: FG = 8 cm – GH = 10 cm - angolo in G = 52°

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli rettangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:

triangolo ABC: cateto AB = 12 cm – cateto BC = 15 cm

triangolo DEF: cateto DE = 12  cm – cateto EF = 15 cm

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:

triangolo ABC: AB = 16 cm – BC = 21 cm - AC = 29 cm

triangolo CDE: CD = 16 cm – DE = 21 cm - CE = 29 cm

·    Di un triangolo ottusangolo ABC con BH altezza relativa al lato AC, conosciamo questi dati:

BC = 20 cm

AB = 6,2 cm

AH = HC – 15

P = 50,2 cm

b =  125 °

g = 10°

a)      Trova l’ampiezza dell’angolo a

b)      Trova l’ampiezza degli angoli interni del triangolo HBA e del triangolo BCH

c)      Che tipo di triangolo è HBA?

d)      Calcola il perimetro del triangolo HBA e del triangolo BCH

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Bisettrici, mediane ed assi del triangolo

Consideriamo un qualunque triangolo e tracciamo un segmento AD che partendo dal vertice A raggiunga il lato opposto dividendo a metà l’angolo in A

Il segmento AD si chiama bisettrice dell’angolo A.

Possiamo quindi dire che si chiama bisettrice di un triangolo relativa ad un vertice quel segmento che unisce il vertice con il lato opposto dividendo a metà l’angolo.

Poiché un triangolo ha 3 vertici e tre angoli , le bisettrici di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo le tre bisettrici si incontrano in un unico punto detto incentro.

L’incentro è sempre interno al triangolo ed ha sempre la stessa distanza da ciascuno dei lati.

Consideriamo un qualunque triangolo e tracciamo un segmento AE che partendo dal vertice A raggiunga il punto medio del lato opposto.

Il segmento AE si chiama mediana relativa al lato BC.

Possiamo dunque affermare che si chiama mediana di un triangolo relativa ad un lato quel segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto.

Poiché un triangolo ha 3 lati , le mediane di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto detto baricentro.

Il baricentro è sempre interno al triangolo.

Un’altra proprietà del baricentro è data dal fatto che esso divide ogni mediana in due parti di cui una è il doppio dell’altra. Nel triangolo sotto il baricentro O fa sì che:

AO = 2 OD

CO = 2 OF

BO = 2 OE

Consideriamo un qualunque triangolo ed il suo lato AB, mettiamo D punto medio del lato AB e  tracciamo una retta a perpendicolare ad AB e passante per il punto medio D.

La retta a si chiama asse relativa al lato AB.

Possiamo dunque affermare che si chiama asse di un triangolo relativo ad un lato quella retta perpendicolare al lato stesso e che passa per il suo punto medio.

Poiché un triangolo ha 3 lati , gli assi di un triangolo saranno sempre 3.

In qualsiasi triangolo i tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro.

Come vediamo nella figura sopra, in un triangolo acutangolo, il circocentro è sempre interno.

Nei triangoli ottusangoli il circocentro è esterno al triangolo.

Nei triangoli rettangoli il circocentro coincide sempre con il punto medio dell’ipotenusa.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Che cos’é la bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro delle tre bisettrici?

·        Che cos’é la mediana relativa ad un lato di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro delle tre mediane?

·        Che cos’é l’asse relativo ad un lato di un triangolo? Come si chiama il punto di incontro dei tre assi?

·        Quali tra questi punti sono sempre interni ad un qualunque triangolo

­       incentro

­       baricentro

­       ortocentro

­       circocentro

·        Determina l’incentro di questo triangolo

·        Determina il baricentro di questo triangolo

·        Determina il circocentro di questo triangolo

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